Orbit Configration Spaces

群 \(G\) が位相空間 \(X\) に作用するとき, \(X^n\) の中で座標が異なるだけでなく, 各座標の \(G\)-orbit が異なるという条件をみたす点を集めたものを, orbit configuration space という。つまり \[ \mathrm{Conf}_{n}^{G}(X) = \set{(x_1,\ldots ,x_n)\in X^n}{Gx_i\neq Gx_j (i\neq j)} \] で定義される \(X\) のconfiguration space の部分空間である。

この orbit configuration space については, Xicotencatl の1997年の University of Rochester での thesis で調べられたのが最初だろうか。 Xicotencatl の [Xic00] がある。

定義から自然な写像 \[ \mathrm{Conf}_{n}^{G}(X) \longrightarrow \mathrm{Conf}_{n}(X/G) \] があり, 射影 \(X\to X/G\) が fiber bundle なら, この写像も fiber bundle になる。 \(G\) の作用が free のときは, この fibration を用いて調べられている。

具体的な例としては, 球面と \(\Z _2\) の antipodal map による作用の場合に Feichtner と Ziegler [FZ02] により integral cohomology が決定されている。その中で原点を除いた Euclid 空間の場合も書かれている。\(\bbC \) から原点を除いた空間へ巡回群が作用する ときの orbit configuration space については, Daniel Cohen [Coh01] が基本群を調べている。

群作用が free でない場合は別の方法が必要になるが, Chen と Lü と Wu [CLW] は, small cover と quasitoric manifold の場合に, underlying polytope の configuration space を用いて調べて, Euler 標数の公式を得ている。 Bibby と Gadish [BG] も作用が free ではない場合を考えている。彼等は, 作用が free ではない点を除いた空間の orbit configuration space のコホモロジーを計算する方法を考えている。

コホモロジーの stability については, Casto [Casb; Casa] が \(\mathrm{FI}_{G}\)-module を用いて調べている。

References

[BG]

Christin Bibby and Nir Gadish. Combinatorics of orbit configuration spaces. arXiv: 1804.06863.

[Casa]

Kevin Casto. \(\mathrm{FI}_G\)-modules and arithmetic statistics. arXiv: 1703.07295.

[Casb]

Kevin Casto. \(\mathrm{FI}_G\)-modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups. arXiv: 1608.06317.

[CLW]

Junda Chen, Zhi Lü, and Jie Wu. Orbit configuration spaces of small covers and quasi-toric manifolds. arXiv: 1111.6699.

[Coh01]

Daniel C. Cohen. “Monodromy of fiber-type arrangements and orbit configuration spaces”. In: Forum Math. 13.4 (2001), pp. 505–530. arXiv: math/9910121. url: http://dx.doi.org/10.1515/form.2001.020.

[FZ02]

Eva Maria Feichtner and Günter M. Ziegler. “On orbit configuration spaces of spheres”. In: Topology Appl. 118.1-2 (2002). Arrangements in Boston: a Conference on Hyperplane Arrangements (1999), pp. 85–102. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00043-8.

[Xic00]

Miguel A. Xicoténcatl. “On orbit configuration spaces and the rational cohomology of \(F(\mathbf{R}\mathrm{P}^{n},k)\)”. In: Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999). Vol. 265. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 233–249.