Triangulated category についての基本的な事柄

Triangulated category についての文献としては, まずは Neeman の本 [Nee01] を挙げるべきだろう。Neeman の本では, まず pretriangulated category が定義され, それに octahedral axiom を追加して triangulated category の定義としている。Octahedral axiom は, 述べるだけでも結構面倒なものであり, 伝統的に正八面体の形に表わすのでその名前が付いている。最近の本なら, Gel\('\)fand と Manin の本 [GM99; GM03] を見るとよい。この二つの本は重複する部分も多いが, 後者の方が初学者向けに書いてある。Neeman は octahedral axiom を mapping cone を用いてより分かりやすい形 (少なくともホモトピー論の人間にとっては) に言い換えてくれている。

代数への応用を念頭に書かれたものとして Happel の [Hap88] があるが, これも分かりやすい。Frobenius category や Auslander-Reiten triangle などの話題についても書いてある。

• pretriangulated category の定義
• octahedral axiom と triangulated category の定義

Triangulated category の定義は, このように結構複雑なものであるが, Baues と Muro [BM] が translation functor を持つ additive category が triangulated category になるための条件を調べている。彼等は groupoid で enrich された additive category という視点から考察している。その obstruction は Baues-Wirsching cohomology の元として得られる。Toda bracket の構成についても言及している。

• additive track category
• translation cohomology

Triangulated category の triangulated subcategory による quotient は, Verdier により構成された。

• triangulated subcategory
• Verdier quotient

Cluster category という有限次元代数から作られる triangulated category の cluster tilting subcategory による quotient は Abelian category になるが, より一般の triangulated category での cluster tilting subcategory による quotientを考えているのは, Koenig と Zhu の [KZ08] である。Cluster tilting subcategory とは, Iyama の [Iya07] で maximal \(1\)-orthogonal subcategory と呼ばれ導入されたものである。

代数幾何や表現論のように, derived category をよく使う分野では, \(t\)-structure という概念が重要である。

• \(t\)-structure

Triangulated category では, トポロジーで行なわれてきた様々な操作が可能となったり, トポロジーで良く知られた定理の類似が成り立ったりする。例えば, 以下のものである。

• 環 \(R\) の derived category と, \(R\) に係数を持つ Eilenberg-Mac Lane spectrum \(HR\) 上の module spectrum の derived category が同型であること。
• Brown の表現定理
• homotopy limit と homotopy colimit [BN93]
• Bousfield localization

環 \(R\) が良い性質を持つと \(R\) 加群の圏は stable equivalence を weak equivalence として model category に近い構造を持つ。例えば Frobenious 環の場合は, model category になる。そしてその stable category (homotopy category) として triangulated category を作ることもできる。[Bel01] などで考察されている。より一般に Frobenius category の場合は, Gel\('\)fand と Manin の本 [GM99] や Happel の本 [Hap88] で解説されている。

このように, homotopy category をとって triangulated category になるような model category を stable model category という。

• stable model category

たいていの triangulated category は, stable model category から作られたものである。Schwede [Sch] は stable cofibration category の homotopy category と同値になるものを, topological triangulated category と呼んでいる。Schwede は algebraic triangulated category は topological であることを示している。もちろん topological でないものも存在し, Schwede は, それらを exotic triangulated category と呼んでいる。Muro と Schwede と Strickland の [MSS07] など。

• algebraic triangulated category
• topological triangulated category
• exotic triangulated category

代数に起源を持つ構成としては, exact category の quotient category として triangulated category を作るという方法がある。Grime が [Gria] で考えている。その起源は, Happel による有限群の group ring の module の圏の構造に関する結果 [Hap87] のようである。 Grime は, 更に [Grib] で, Bousfield localization や homotopy colimit などの道具を用いて module の圏を調べている。

Triangulated category の subcategory については, 代数的トポロジーで 80年代から考えられてきたこともある。Hopkins は spectrum の stable homotopy category の thick subcategory を分類した。

• thick subcategory
• thick subcategory theorem

この流れでは, Chebolu の [Che06] という仕事がある。これは Thick Subcategory Theorem の精密化である。Chebolu は, thick subcategory については, Krull-Schmidt の定理の証明 [Che07] も行なっている。 これは Krause の stable module category に関する結果 [Kra99] の一般化である。

2つの triangulated category を合せて1つにする, という操作も考えられる。 Recollement という [Jør06], らしい。他にも Bondal と Larsen と Lunts [BLL04] による pretriangulated dg category の積もある。 彼らの目的は, pretriangulated dg category の圏の Grothendieck group を定義することであるが。

Balmer と Favi の [BF07] では gluing という操作が考えられている。これは Balmer の定義した [Bal02; Bal05] “tensor product を持つ triangulated category” の prime ideal spectrum という位相空間に関するデータに基づくものである。Object や morphism の gluing についても考えている。

• monoidal structure を 持つ triangulated category
• tensor triangular geometry

他には次のような概念を知っておくとよい。

• triangulated category の上の (co)homological functor
• triangulated category が saturated であること

Pirashvili と Redondo は [PR08] で triangulated category 上の Abelian category に値を持つ functor で, suspension と可換かつ triangle を long exact sequence に写すものを考えている。つまり triangulated category 上の homology theory である。主要な結果は, universal coefficient theorem の類似である。Bousfield localization の類似として, cohomological functor に関する localization という概念も考えられる。Krause の [Kra] など。

Bondal と van den Bergh は, [BB03] で saturated になるための十分条件を考えている。彼等の念頭にあるのは, smooth proper (commutative あるい は noncommutative) variety 上の coherent sheaf の bounded derived category である。

Bondal と van den Bergh は, そのために triangurated category を subcategory で生成することについて考えている。それを元に, Rouquier [Rou08] は triangulated category の次元を定義した。Bergh と Oppermann が [Ber+10] でその lower bound について考えている。

• triangulated category の次元

Triangulated category 上の functor として重要なのは, Serre functor と呼ばれるものである。

• Serre functor と Serre duality

Triangulated category 上の functor としては, determinant functor というものもある。Breuning の [Bre11] を参照のこと。その値域は, Picard category と呼ばれる種類の tensor category である。

• determinant functor

References

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