Serre Functor and Serre Duality

Triangulated category の autoequivalence で重要なのは, Serre functor と呼ばれる functor である。 Serre functor より与えられる triangulated category の autoequivalence は, Serre duality と呼ばれる。

Reiten と Van den Bergh の [RV02] によると, Bondal と Kapranov [BK89] により洗練された形に定式化されたようである。

定義は, 例えば, Bondal と Orlov の [BO01] や Reiten と Van den Bergh の [RV02] にある。

Abelian category の derived category が Serre functor を持つための必要十分条件は, Auslander-Reiten triangle を持つことである, というのは, Reiten と Van den Bergh [RV02] の結果である。

Serre functor が triangulated category の何回かの suspension である場合, Calabi-Yau category と呼ばれる。Suspension の回数を Calabi-Yau 次元という。 Calabi-Yau 次元が \(2\) のものを K3 category と呼ぶらしい。

• Calabi-Yau category
• Calabi-Yau 次元
• K3 category

van Roosmalen は [Roo08] で\(1\)次元 Abelian Calabi-Yau category を分類している。

Serre functor を \(m\) 回繰り返すと suspension \(n\) 回に一致するとき, Calabi-Yau 次元が \(n/m\) であるということにすれば, 分数次元の Calabi-Yau category を考えることもできる。van Roosmalen の[Roo12] など。

Calabi-Yau category については, 様々な人が活発に研究している。 dg category との関連では, Tabuada の [Tab07], stability conditionの空間 については, Huybrechts と Macri と Stellari の [HMS08] がある。

Schapira の [Sch] によると, 複素 symplectic 多様体の deformation quantization の algebroid stack からできる derived category も Calabi-Yau category の構造を持つ。

References

[BK89]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Representable functors, Serre functors, and reconstructions”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 53.6 (1989), pp. 1183–1205, 1337.

[BO01]

Alexei Bondal and Dmitri Orlov. “Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences”. In: Compositio Math. 125.3 (2001), pp. 327–344. arXiv: alg-geom/9712029. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1002470302976.

[HMS08]

Daniel Huybrechts, Emanuele Macrı̀, and Paolo Stellari. “Stability conditions for generic \(K3\) categories”. In: Compos. Math. 144.1 (2008), pp. 134–162. arXiv: math/0608430. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003065.

[Roo08]

Adam-Christiaan van Roosmalen. “Abelian 1-Calabi-Yau categories”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 6 (2008), Art. ID rnn003, 20. arXiv: math/0703457. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnn003.

[Roo12]

Adam-Christiaan van Roosmalen. “Abelian hereditary fractionally Calabi-Yau categories”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 12 (2012), pp. 2708–2750. arXiv: 1008.1245. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnr118.

[RV02]

I. Reiten and M. Van den Bergh. “Noetherian hereditary abelian categories satisfying Serre duality”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.2 (2002), pp. 295–366. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00387-9.

[Sch]

Pierre Schapira. Deformation quantization modules on complex symplectic manifolds. arXiv: 0704.3007.

[Tab07]

Gonçalo Tabuada. “On the structure of Calabi-Yau categories with a cluster tilting subcategory”. In: Doc. Math. 12 (2007), 193–213 (electronic). arXiv: math/0607394.