群の(コ)ホモロジーに関する一般的なこと

群のホモロジーやコホモロジーと代数的トポロジーの関係としては, 次が基本的である。

• 離散群 \(G\) と\(k[G]\)-module \(M\) に対し, 次の同型がある: \[ H^n(G;M) \cong H^n(BG;M) \] ここで右辺は \(G\) の分類空間 \(BG\) の \(\pi _1(BG)\cong G\)-module \(M\) に係数を持つ (局所係数の) 特異ホモロジーである。
• 特に \(M\) が自明な \(G\)-module の時, 次の同一視を得る \[ H^n(G;M) \cong [BG,K(M,n)] \] ここで, \(K(M,n)\) は \((M,n)\) 型の Eilenberg-Mac Lane space である。

よって, 群のコホモロジーに関することを, 空間レベルあるいは stable homotopy category での構成に翻訳できることが多い。例えば, transfer は stable homotopy category での分類空間の間の morphism として構成できる。 このことからも分かるように, 分類空間のホモトピー論は, 群のコホモロジーを調べる際に重要な道具である。 また群の拡大に対する Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence は, fibration に対する Serre spectral sequence の類似である。

• 群のコホモロジーにおける transfer
• 分類空間のホモトピー論
• Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence

Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence に対しては, Charlap と Vasquez [CV69] が, \(E_2\)-term の特性類を定義している。その結果は, Sah [Sah74] により, 一般の \(E_r\)-term に拡張され, Degrijse と Petrosyan [DP11] により split Hopf algebra extension に拡張されている。

Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence の一般化としては, Fei Xu [Xu08] による small category の extension に対するものがある。 その一般化として Yalcin の [Yal] がある。

分類空間の構成に対応する代数的な構成は bar resolution であるが, 実際に群のコホモロジーを計算するときには, bar resolution を用いることはほとんどない。 あまりにも大きすぎるからである。

• bar resolution

Heß と Ozornova の [HO] によると, Bödigheimer とその学生だった Visy が, bar resolution をより小さな chain complex に潰せる条件を発見している。 彼等は対称群の場合を調べていて気がついたらしいが, その条件を一般化して factorable group という概念を定義している。

• factorable group

Visy の thesis は ここで公開されている。 他にも Bödigheimer の学生が factorable group や関連したことを色々調べている。 Wang の thesis では factorable small category が, Heß の thesis では factorable monoid が定義されている。

群が生成元と関係式で表されているときには, それを用いた trivial module の resolution を作ることができる。Gruenberg [Gru60] によるものであるが, Ivanov と Mukoseev [IM] は, そのアイデアは Eilenberg, Nagao, Nakayama の仕事 [ENN56] にある, と言っている。Ivanov と Mukoseev はその一般化を提案している。

• Gruenberg resolution

群のホモロジーの解釈としては, まず\(1\)次のホモロジーが可換化であるということを知っておくべきだろう。 \(2\)次のホモロジーの解釈は Hopf によるらしい。

• \(H_1(G;\Z )=G/[G,G]\)
• Hopfの公式 [Hop42]

Hopf の公式を一般化しようという試みは様々な人により行われている。 [Con85; Stö89; Ell90; EGV08] など。 偶数次の部分については, Emmanouil と Mikhailov の [EM08] の free presentation のなす category 上の limit としての表示もある。 Ivanov と Mikhailov [IM15] は, その全ての次数への拡張を limit の derived functor を用いて得ている。Quillen による cyclic homology の記述 [Qui89] も一般化するものであり興味深い。

離散群 \(G\) に対しては, \(BG = K(G,1)\) であり, Eilenberg-Mac Lane空間 \(K(G,1)\) のコホモロジーは群のコホモロジーである。 よって群の拡大を用いた解釈ができる。 より一般に, \(K(G,n)\) のコホモロジーについても, 何か代数的に解釈ができないか, というのは自然な疑問である。 その疑問に対する一つの答えとして Loday の結果 [Lod82] がある。

• \(\mathrm {cat}^{n}\)-group を用いた \(H^n(G;A)\) と \(H^n(K(G,k);A)\) の解釈

他には, Breen の [Bre99]がある。高次の monoidal category との関係を考察している。

Stallings は [Sta65] で, 低次の群の homology が同型になるときの lower central series の間の関係を調べている。これらは, knot や link の complement など, \(3\)次元多様体の基本群を調べるときに有効らしい。

その一般化として, Bousfield の [Bou77] や Dwyer の [Dwy75] という論文もある。その derived series などを用いた一般化を Cochran と Harvey が色々考えている。 [CH05; CH08b; Har08; CH08a] である。これらもトポロジーへの応用を念頭に置いたものである。彼らは [CH10] では, 一般に群の filtration (列) が準同形の class で stable であるための条件を考えている。

Equivariant group cohomology というものも定義できる。Inassaridze の [Ina05] では, Steinberg group に関する equivariant group cohomology と algebraic \(K\)-theory との関係が述べられている。

Crossed module に係数を持つ群のコホモロジーを考えている人もいる。Breen の [Bre90] や Borovoi の [Bor98], そして Noohi の [Noo11] など。

他に, 代数的トポロジーの視点から, 群の(コ)ホモロジーについて知っておいた方がよいことは, 以下のようなことだろうか。

• Kan-Thurston の定理 [KT76]
• 群のコホモロジーを用いた Steenrod operation の定義 [Ben98]

References

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