2-categoryと関連した話題

Lack が [Lac07] で書いているように, \(2\)-category とホモトピー論の関係として, 最も単純なのは fundamental \(2\)-groupoid である。つまり object をある空間の点, \(1\)-morphism を (Moore) path, \(2\)-morphism を (Moore) homotopy として得られるものである。このことから, \(2\)-category を \(\pi _0\) と \(\pi _1\) と \(\pi _2\) の情報のみ持つ「空間」として扱うというのは, 自然なアイデアのように思える。そのように見たときの, 古典的なホモトピー論 での \(2\)-category の応用としては, Toda bracket が挙げられる。

このような単純な analogy 以外にも, \(2\)-category は様々な方向から代数的トポロジーに関係している。 もちろん, 他の数学の分野とも色々関係している。

• \(2\)-category やそれに類する構造の応用や例

\(2\)-category の定義と基本的な性質については Ganter と Kapranov の [GK08] の§2が簡潔にまとまっている。Mac Lane の本の第2版 [Mac98] の Chapter XII にも \(2\)-category や bicategory についての記述がある。Lack の [Lac10] もある。

より正確には, bicategory として, associativity や unit の条件を up to natural isomorphism で考えるべきである。

• bicategory

Bicategory の解説として, Leinster の [Lei] がある。 逆に, 任意の bicategory は, strict \(2\)-category と bicategory として同値になる。 いわゆる coherence theorem である。

\(2\)-category や bicateogry の間の “functor” やその間の natural transformation を考えるときには, \(2\)-morphism も考慮に入れるべきである。

• bicategory の成す “category”

このような複雑な構造を扱うときには, 現在では, \((\infty ,2)\)-category の枠組みで考えるのも一つの手である。

• \((\infty ,2)\)-category

\(2\)-category の解釈として, monoidal category の一般化と考えるのは結構有効である。まず monoidal category のことを勉強してから, その性質を \(2\)-category や bicategory に一般化することを考えると, 理解しやすい。

• monoidal category は object 1つの bicategory

例えば, string diagram も \(2\)-category に拡張できる。 というより, \(2\)-category で考えた方が自然である。

• string diagram

また, monoidal structure を \(2\)-category 上で考えることもできる。 定義は, Kapranov と Voevodsky の [KV94] にある。 2-category の category の Gray tensor product を用いたものも, Gordon と Power と Street の [GPS95] や Day と Street の [DS97] などにより考えられている。

• monoidal \(2\)-category (bicategory)

\(2\)-category を代数的構造の高次版として考え, その表現論を展開することもできる。

• representation of \(2\)-category

他にも様々な構造を bicategory の上で考えることができる。

通常の category の上の model structure は morphism に関する条件であるが, \(2\)-category の上の model structure には, \(2\)-morphism に関する条件をつけるべきである。 これについては, Lack の [Lac10] や Gambino の [Gam08] に書いてある。

これは, \(2\)-category を通常の category に \(2\)-morphism を追加したものと考えた見方である。一方で, object \(1\)つの \(2\)-category が monoidal category であることから, \(2\)-category を monodal category の many-objectification とみなすことも一般的であり重要である。この視点からは, monoidal model category の一般化としての \(2\)-category 上の model structure の定義が考えられる。例えば, N. Johnson の [Joh] などである。

ホモロジー代数の高次化としては, Abel圏の\(2\)次元化 を考えている Nakaoka の [Nak08] がある。M. Dupont の [Dup] もある。 それらの比較が [Nak10] で行なわれている。

ホモトピー論との関係としては, その分類空間も重要である。

• \(2\)-categoryやそれに類するものの分類空間

圏の概念の2次元化としては, 他にも double category とか pseudo category などといった概念がある。

• double category やその高次化

Fiore の [Fio07] で, それらの “category の categorification” が比較されている。この Fiore の論文は, 数理物理, 特に conformal field theory などへ の応用を念頭に置いたものである。Morton の [Mor09] の最初には, strict \(2\)-category と bicategory と double category が順に比較して説明されている。その論文の目的は, corner を 持つ多様体の cobordism category の構造であるが。

2-category に類するものとしては, Mirmohades の [Mir] で使われている sesquicategory や sestercategory がある。Sesquicategory とは, 2-category の horizontal composition と vertical composition の関係を弱めたもの, sestercategory は sesquicategory で enrich されたようなものである。

• sesquicategory
• sestercategory

Bicategory の図式に対する Grothendieck construction (homotopy colimit) を考えている人もいる。[CCG11] である。

このように \(2\)-category (bicategory) 全体を考えようとすると, \(2\)-category の成す category を考えなければならなくなる。 \(3\)-category になるので面倒であるが。

\(2\)-category の category には Gray による別の monoidal structure も入る。

• Gray tensor product

References

[CCG11]

P. Carrasco, A. M. Cegarra, and A. R. Garzón. “Classifying spaces for braided monoidal categories and lax diagrams of bicategories”. In: Adv. Math. 226.1 (2011), pp. 419–483. arXiv: 0907.0930. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.06.027.

[DS97]

Brian Day and Ross Street. “Monoidal bicategories and Hopf algebroids”. In: Adv. Math. 129.1 (1997), pp. 99–157. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649.

[Dup]

Mathieu Dupont. Abelian categories in dimension 2. arXiv: 0809. 1760.

[Fio07]

Thomas M. Fiore. “Pseudo algebras and pseudo double categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 119–170. arXiv: math/ 0608760.

[Gam08]

Nicola Gambino. “Homotopy limits for 2-categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 145.1 (2008), pp. 43–63. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108001266.

[GK08]

Nora Ganter and Mikhail Kapranov. “Representation and character theory in 2-categories”. In: Adv. Math. 217.5 (2008), pp. 2268–2300. arXiv: math / 0602510. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.10.004.

[GPS95]

R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. “Coherence for tricategories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 117.558 (1995), pp. vi+81. url: https://doi.org/10.1090/memo/0558.

[Joh]

Niles Johnson. Morita Theory For Derived Categories: A Bicategorical Perspective. arXiv: 0805.3673.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[Lac07]

Stephen Lack. “Homotopy-theoretic aspects of 2-monads”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 229–260. arXiv: math/ 0607646.

[Lac10]

Stephen Lack. “A 2-categories companion”. In: Towards higher categories. Vol. 152. IMA Vol. Math. Appl. New York: Springer, 2010, pp. 105–191. arXiv: math/0702535. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-1524-5_4.

[Lei]

Tom Leinster. Basic Bicategories. arXiv: math/9810017.

[Mac98]

Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.

[Mir]

Djalal Mirmohades. Simplicial Structure on Complexes. arXiv: 1404. 0628.

[Mor09]

Jeffrey C. Morton. “Double bicategories and double cospans”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 389–428. arXiv: math/ 0611930.

[Nak08]

Hiroyuki Nakaoka. “Cohomology theory in \(2\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 20 (2008), No. 16, 543–604.

[Nak10]

Hiroyuki Nakaoka. “Comparison of the definitions of abelian \(2\)-categories”. In: Tsukuba J. Math. 34.2 (2010), pp. 173–182. arXiv: 0904.0078.