構造を持ったモデル圏

具体的なモデル圏の例を色々見ていると, 多くのモデル圏が, 単なる圏以上の「ある構造」を持ち, それがモデル圏の構造と compatible になっていることに気がつく。

例えば, 位相空間の圏など, 通常の代数的トポロジーで扱うモデル圏は, closed symmetric monoidal category になっていることが多い。そこで, Hovey の本 [Hov99] の Chapter 4 は, monoidal構造を持ったモデル圏に充てられている。

• monoidal model category

Monoidal category と関係が深いのが enrichment である。

• enriched model category

実際にモデル構造を定義する際には, 「生成元」が分っていると楽である。 そのようなものとして代表的なのが, cofibrantly generated model category である。より圏論的 (集合論的) に扱いやすい条件を付けた combinatorial model category というものもある。

• cofibrantly generated model category
• combinatorial model category

また spectrum の成すモデル圏のような stable model category については, symmetric spectrum による enrichment がある。Stable model categoryは, dg category や triangulated categry と関係が深い。

• stable model category

ホモロジー代数での resolution は, 適当なモデル圏での fibrant あるいは cofibrant replacement と考えることができるが, より一般に “resolutionが定義できるモデル圏” を考えたのが Dwyer と Kan と Stover の \(E^2\) model category [DKS93]である。これは, Bousfield [Bou03] により一般のモデル圏での homotopy spectral sequence の構成に用いられている。Bousfield は resolution model category と呼んでいる。

• left proper, right proper, proper model category
• \(E^2\) model category (resolution model category)
• pointed simplicial space の圏の \(E^2\)-model structure

Biedermann は, \(n\)-truncated resolution model structure という変種を [Bie07] で考えている。

ホモロジー代数で用いる, chain complex の性質は, chain complex の圏 model structure を用いて述べられるものが多いが, それは, Abelian category や exact category の上の model structure として一般化して考えることができる。そして, それが cotorsion pair で記述できることは, Hovey の発見 [Hov02] である。

• Abelian category や exact category などの上の model structure

モデル圏の定義は, weak factorization system の概念を用いると簡潔に述べることができるが, その weak factorization system が algebraic weak factorization system であるとしたものを, Riehl が [Rie11] で考えている。また [Rie] では, monoidal structure を考えている。

• algebraic model category

ホモトピー群などを考えるために, Blanc は [Bla08] で spherical model category という概念を導入した。

• spherical model category

圏の上に定義される構造としては, Grothendieck topology もある。よって model category の上の Grothendieck topology, あるいは site 上の model structure について, どのような条件をみたすべきか考えるのは自然な問題である。 これについては, Toën と Vezzosi が [TV05] で pseudo-model category 上の model pre-topology というものを考えている。

群 \(G\) の作用を考えるために, \(G\)-model structure という構造が Dotto と Moi の [DM] で導入されている。

• \(G\)-model structure

References

[Bie07]

Georg Biedermann. “Truncated resolution model structures”. In: J. Pure Appl. Algebra 208.2 (2007), pp. 591–601. arXiv: math/0602564. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.03.008.

[Bla08]

David Blanc. “Comparing homotopy categories”. In: J. K-Theory 2.1 (2008), pp. 169–205. arXiv: math / 0606458. url: http://dx.doi.org/10.1017/is007011017jkt016.

[Bou03]

A. K. Bousfield. “Cosimplicial resolutions and homotopy spectral sequences in model categories”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 1001–1053 (electronic). arXiv: math/0312531. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.1001.

[DKS93]

W. G. Dwyer, D. M. Kan, and C. R. Stover. “An \(E^2\) model category structure for pointed simplicial spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 90.2 (1993), pp. 137–152. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90126-E.

[DM]

Emanuele Dotto and Kristian Moi. Homotopy theory of \(G\)-diagrams and equivariant excision. arXiv: 1403.6101.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Rie]

Emily Riehl. Monoidal algebraic model structures. arXiv: 1109.2883.

[Rie11]

Emily Riehl. “Algebraic model structures”. In: New York J. Math. 17 (2011), pp. 173–231. arXiv: 0910 . 2733. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2011/17_173.html.

[TV05]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory”. In: Adv. Math. 193.2 (2005), pp. 257–372. arXiv: math/0207028. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.05.004.