Combinatorial Model Category

Combinatorial model category とは, 圏として locally presentable な cofibrantly generated model category のことである。 Jeff Smith により導入された概念, らしい。Jeff Smith のものは未だ未発表であるが, 参考文献としては, Rosicky の [Ros09b] の reference を見るとよい。例えば Beke の [Bek00] や Daniel Dugger の [Dug01] がある。

• locally presentable category

Combinatorial model category が, 単なる cofibrantly generated model category とどれぐらい違うかについては, Raptis [Rap09] や Rosický [Ros09a] が調べている。 Raptis は [Rap09]で Vopenka’s principle という集合論的な仮定の下では, どんな cofibrantly generated model category も combinatorial なものに Quillen 同値になると主張していたが, 彼等の [RR18] によると, その証明には間違いがあったようである。

• Vopenka’s principle

Combinatorial model category ではない model category がいくつも発見されたことから, Chorny と Rosicky は, [CR12a] で locally presentable category の概念を拡張し, それに基づいて combinatorial model category の拡張を [CR12b] で定義している。

• class-combinatorial model category

Hess ら [Hes+17] による accessible model category という一般化もある。

• accessible model category

Model category からは canonical な方法で \((\infty ,1)\)-category, より正確には quasicategory が得られるが, combinatorial model category に対応するものは, presentable quasicategory である。

• preesntable quasicategory

このことは, 専門家には良く知られたことであるが, combinatorial model category の relative category と presentable quasicategory の relative category が同値 (Dwyer-Kan equivalent) であることが, Pavlov [Pav] により示されている。

References

[Bek00]

Tibor Beke. “Sheafifiable homotopy model categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129.3 (2000), pp. 447–475. arXiv: math/0102087. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100004722.

[CR12a]

B. Chorny and J. Rosický. “Class-locally presentable and class-accessible categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.10 (2012), pp. 2113–2125. arXiv: 1110.0605. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.01.015.

[CR12b]

Boris Chorny and Jiřı́ Rosický. “Class-combinatorial model categories”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 263–280. arXiv: 1110.4252. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a13.

[Dug01]

Daniel Dugger. “Combinatorial model categories have presentations”. In: Adv. Math. 164.1 (2001), pp. 177–201. arXiv: math/0007068. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2015.

[Hes+17]

Kathryn Hess, Magdalena Kȩdziorek, Emily Riehl, and Brooke Shipley. “A necessary and sufficient condition for induced model structures”. In: J. Topol. 10.2 (2017), pp. 324–369. arXiv: 1509. 08154. url: https://doi.org/10.1112/topo.12011.

[Pav]

Dmitri Pavlov. Combinatorial model categories are equivalent to presentable quasicategories. arXiv: 2110.04679.

[Rap09]

George Raptis. “On the cofibrant generation of model categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 245–253. arXiv: 0907. 2726.

[Ros09a]

J. Rosicky. “Are all cofibrantly generated model categories combinatorial?” In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 50.3 (2009), pp. 233–238. arXiv: 0905.0595.

[Ros09b]

J. Rosický. “On combinatorial model categories”. In: Appl. Categ. Structures 17.3 (2009), pp. 303–316. arXiv: 0708 . 2185. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9171-2.

[RR18]

G. Raptis and J. Rosický. “Small presentations of model categories and Vopěnka’s principle”. In: Homology Homotopy Appl. 20.1 (2018), pp. 303–328. arXiv: 1703 . 08094. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2018.v20.n1.a18.