2-categoryやそれに類する構造の応用や例

\(2\)-category の構造は, 昔から意識されずに使われていたことが多い。古典的なホモトピー論では, まず Toda bracket が挙げられ る。

• Toda bracket

その定義には \(2\)-category という言葉は出てこないが, homotopy を \(2\)-cell とみなし, 二つの \(2\)-cell を貼り合わせて suspension からの写像を作る, という操作は, \(2\)-category で考えるのが自然である。実際 Hardie らの [Har+04] という試みもある。Baues は, ホモロジー代数で同様のことを考えて [BJ06] という論文を書いている。それによると, Adams spectral sequence の \(E_3\)-term が記述できるらしい。

Small category の 分類空間は, ホモトピー論や 組み合せ論では基本的な道具となっている。 当然, \(2\)-categoryに対しても分類空間を構成したいし, 実際様々な構成方法が発見されている。

• \(2\)-category やそれに類する構造の分類空間

例えば, [NTT18] での discrete Morse theory の精密化の中で使われている。

分類空間といえば群であるが, \(2\)-group とそれに関連した事柄については, Pfeifferの [Pfe07] をみるとよいだろう。

• \(2\)-group

群の場合もそうであるが, 代数的構造として扱うときには, ある種の有限性を仮定しないと面白いことは分からない。 \(2\)-category については, その表現を考える過程で, Mazorchuk と Miemietz [MM11] により, いくつかの条件が考えられている。

• finitary \(2\)-category
• fiat \(2\)-category

例えば, Soergel bimodule の成す \(2\)-category は finitary \(2\)-category である。

幾何学的問題への応用としては, monodromy の高次版の定義がある。通常の monodromy の定義で fundamental groupoid \(\Pi _1(X)\) を homotopy \(2\)-groupoid \(\Pi _2(X)\) に変えて考えるのである。例えば, Poesello と Waschkies の [PW05] など。

\(2\)-category の興味深い応用としては, Baas と Dundas と Rognes による \(2\)-vector bundle による elliptic cohomology の構成の試み [BDR04] がある。そのためには, まず \(2\)-vector space が必要である。\(2\)-vector space は, Morton の extended topological quantum field theory の定義 [Mor] でも使われている。

• 高次の線形代数

Baas と Bökstedt と Kro は, [BBK12]で, より一般の \(2\)-category bundle を考えている。そこには topological \(2\)-category のホモトピー論的な性質についても色々書いてある。

Ganter と Kapranov の [GK08] は, character を \(2\)-category のレベルで考え, Hopkins-Kuhn-Ravenel の理論と一致するものを得ているという点で興味深い。 Baas-Dundas-Rognes の仕事も, motivation の一つになっているらしい。 他にも様々な方向で, 表現論の高次元化が考えられている。

• higher representation theory

\(2\)-category は \(C^*\)-algebra でも使われるようになってきた。というより, Buss と Zhu と Meyer の [BZM] によると, 以前から 使われてはいたが, \(C^*\)-algebra の成す 2-category を扱っていたとは認識されていなかったようである。例えば, Busby と Smith [BS70] の twisted group action は, 群 \(G\) を \(2\)-category とみなして, \(G\) から \(C^*\)-algebra と correspondence と unitary intertwiner の成す bicategory への pseudofunctor と解釈できる。

References

[BBK12]

Nils A. Baas, Marcel Bökstedt, and Tore August Kro. “Two-categorical bundles and their classifying spaces”. In: J. K-Theory 10.2 (2012), pp. 299–369. arXiv: math/0612549. url: http://dx.doi.org/10.1017/is012001012jkt181.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math/0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[BJ06]

Hans-Joachim Baues and Mamuka Jibladze. “Secondary derived functors and the Adams spectral sequence”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 295–324. arXiv: math/0407031. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.08.001.

[BS70]

Robert C. Busby and Harvey A. Smith. “Representations of twisted group algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 149 (1970), pp. 503–537.

[BZM]

Alcides Buss, Chenchang Zhu, and Ralf Meyer. A higher category approach to twisted actions on \(C^*\)-algebras. arXiv: 0908.0455.

[GK08]

Nora Ganter and Mikhail Kapranov. “Representation and character theory in 2-categories”. In: Adv. Math. 217.5 (2008), pp. 2268–2300. arXiv: math/0602510. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.10.004.

[Har+04]

K. A. Hardie, K. H. Kamps, H. J. Marcum, and N. Oda. “Triple brackets and lax morphism categories”. In: Appl. Categ. Structures 12.1 (2004). Homotopy theory, pp. 3–27. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:APCS.0000013803.33614.67.

[MM11]

Volodymyr Mazorchuk and Vanessa Miemietz. “Cell 2-representations of finitary 2-categories”. In: Compos. Math. 147.5 (2011), pp. 1519–1545. arXiv: 1011.3322. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X11005586.

[Mor]

Jeffrey Morton. Extended TQFT’s and Quantum Gravity. arXiv: 0710.0032.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.

[Pfe07]

Hendryk Pfeiffer. “2-groups, trialgebras and their Hopf categories of representations”. In: Adv. Math. 212.1 (2007), pp. 62–108. arXiv: math/0411468. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.014.

[PW05]

Pietro Polesello and Ingo Waschkies. “Higher monodromy”. In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 109–150. arXiv: math/0407507. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839377.