Examples of Small Categories and Topological Categories

小圏の用途は大きく分けると2種類ある。まずは, (co)limit の定義に現われる, 添字集合の一般化としての役割がある。 ある圏 \(\bm {C}\) における図式は, ある小圏 \(I\) から \(\bm {C}\) への functor だから, である。 この用途では全ての現代数学の分野に現れる。小圏が filtering という条件をみたすときは扱いやすい。

もう一つは, 幾何学的 (代数的あるいは組み合せ論的?) 対象としての小圏である。 例えば, 群は object が一つで全ての morphism が逆を持つ小圏とみなすことができる。また monoid は, object が一つの小圏と同値である。このように考えると群や monoid の作用を簡潔に述べることができる。そして, groupoid を圏の言葉を用いないで定義するのは, 非常に不自然である。

• monoid は object が一つの小圏
• groupoid は全ての morphism が逆を持つ小圏
• 群は monoid かつ groupoid である小圏
• 群 \(G\) を small category とみなしたとき, \(G\) のある圏 \(\bm {C}\) の object \(X\) への作用は, \(G\) の unique な object を \(X\) に写す functor \[ G \longrightarrow \bm {C} \] と同値
• ある集合における同値関係は groupoid と思える
• poset は小圏とみなすことができる

Poset への群の作用を考えるときには, poset を小圏とみなすと見通しが良くなることに気づいたのは, Babson と Kozlov [BK05] である。 解説としては, Kozlov の [Koz] もある。

Poset に近いものとして, 各 object の endomorphism が isomorphism しか無いものがある。Lück の [Lüc89] では EI-category と呼ばれている。Oliver の [Oli94] では, ordered category と呼ばれている。更に poset に近いものとして acyclic category というものがある。Kozlov の本 [Koz08] に説明がある。

• EI-category
• acyclic category

EI-category の \((\infty ,1)\)-category 版は Shulman の [Shu] で使われている。

具体的な小圏の例として代数的トポロジーでまず知っておくべきなのは, simplicial object を定義するときの \(\Delta \) である。 モデル構造を考えるときには, より一般にReedy category からの functor の成す圏で議論できる。

• \(\Delta \)
• Reedy category とその一般化

\(\Delta \) は, 空でない有限全順序集合 (の同型類) と順序を保つ写像の成す圏であるが, それに空集合を付け加えると, ordered union により monoidal category になる。そしてこれは monoidal category に対し, monoid object の成す圏を対応させる \(2\)-functor を 表現する圏になっている。Davydov の [Dav10] は, その braided monoidal version である。

Cyclic homology に関係した cyclic category \(\Lambda \) [Con83] も \(\Delta \) を含むものである。\(\Lambda \) の object は \(\{0,1,\ldots ,n\}\) という形の集合であるが, Elmendorf はそれを \(\Z /n\Z \) とみなし, \(\Lambda \) を coverする小圏 \(L\) を [Elm93] で定義している。 \(\Lambda \) の self duality などは, \(L\) で考えた方がずっとうまくいくようである。 Getzler と Jones [GJ93] は同じ category を \(\Lambda _{\infty }\) で表し, paracyclic category と呼んでいる。

• \(\Lambda \)
• linear category あるいは paracyclic category \(\Lambda _{\infty }\)

Getzler と Jones は Nistor の論文 [Nis90] と Fiedorowicz と Loday の論文 [FL91] を参照している。 一方, Ponge [Pon] は, Feigin と Tsygan の [FT87] を参照している。 どうやら, これらが paracyclic category に関する最も古い文献のようである。

Braid群の研究では, Garside category という small category が使われる。

• Garside monoid や Garside category

群や monoid については, 位相が入った位相群や topological monoid を考えることができ, 様々な分野で重要な役割を果している。これらは重要な位相圏の例である。\(G\) が位相群のときには, orbit category \(\mathcal {O}(G)\) も topological category とみなすのが自然である。また topological groupoid は, 位相群の位相空間への連続な作用の一般化としても重要である。例えば, orbifold は topological groupoid の言葉を用いて定義することができる。

• topological groupoid
• 位相群は object が一つの topological groupoid
• 位相群 \(G\) の位相空間 \(X\) への作用は objectの空間が \(X\) で morphism の空間が \(G\times X\) である topological category
• 位相群 \(G\) の orbit category \(\mathcal {O}(G)\)

一般の topological category も, 最近様々な場面で使われるようになってきた。例えば Weiss の orthogonal calculus や Mark Johnson による spectrum の定義などである。

References

[BK05]

Eric Babson and Dmitry N. Kozlov. “Group actions on posets”. In: J. Algebra 285.2 (2005), pp. 439–450. arXiv: math/0310055. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2001.07.002.

[Con83]

Alain Connes. “Cohomologie cyclique et foncteurs \(\mathrm {Ext}^{n}\)”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296.23 (1983), pp. 953–958.

[Dav10]

A. Davydov. “Quasi-commutative algebras”. In: Appl. Categ. Structures 18.4 (2010), pp. 377–406. arXiv: 0808 . 1627. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9172-1.

[Elm93]

A. D. Elmendorf. “A simple formula for cyclic duality”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 118.3 (1993), pp. 709–711. url: http://dx.doi.org/10.2307/2160108.

[FL91]

Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001855.

[FT87]

B. L. Feı̆gin and B. L. Tsygan. “Additive \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986). Vol. 1289. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 67–209. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078368.

[GJ93]

Ezra Getzler and John D. S. Jones. “The cyclic homology of crossed product algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 445 (1993), pp. 161–174. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1995.466.19.

[Koz]

Dmitry N. Kozlov. Trends in Topological Combinatorics. arXiv: math/ 0507390.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Lüc89]

Wolfgang Lück. Transformation groups and algebraic \(K\)-theory. Vol. 1408. Lecture Notes in Mathematics. Mathematica Gottingensis. Berlin: Springer-Verlag, 1989, pp. xii+443. isbn: 3-540-51846-0.

[Nis90]

V. Nistor. “Group cohomology and the cyclic cohomology of crossed products”. In: Invent. Math. 99.2 (1990), pp. 411–424. url: https://doi.org/10.1007/BF01234426.

[Oli94]

Bob Oliver. “Higher limits via Steinberg representations”. In: Comm. Algebra 22.4 (1994), pp. 1381–1393. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879408824911.

[Pon]

Raphael Ponge. Para-S-Modules and Perturbation Lemmas. arXiv: 1810.04835.

[Shu]

Michael Shulman. Univalence for inverse EI diagrams. arXiv: 1508. 02410.