Bredon Cohomology

Bredon [Bre67] は, 有限群 \(G\) の orbit category \(\mathcal {O}(G)\) を用いて equivariant (co)homology を定義した。

• orbit category
• Mackey functor

Bredon homology に対する Dold-Thom の定理の類似については, Nie の [Nie] と dos Santos と Nie の [SN] がある。 Eilenberg-Mac Lane spectrum の構成も行っている。別の方法として Bohmann と Osorno の [BO15] がある。

• equivariant Dold-Thom theorem
• equivariant Eilenberg-Mac Lane spectrum

コンパクトLie 群や局所コンパクト Abel 群などの「良い」位相群に拡張したのは, Illman [Ill73b; Ill73a; Ill75] である。 Mukherjee ら [MM96] は Bredon-Illman (co)homology と呼んでいる。

• Bredon-Illman (co)homology

Mukherjee らの [MM96] で 局所係数版が定義されている。 また, 離散群の場合を Mukherjee と Sen が [MS10; MS11] で調べている。

Sen は Basu と共に [BS] でそれをホモトピー集合として表現するのに, crossed complex を用いることを提案している。

現代的な equivariant stable homotopy theory の視点からは, \(\Z \)-graded ではなく \(\mathrm {RO}(G)\)-graded cohomology を考えるべきである。それについては, 例えば, Ferland とLewis の [FL04] や May らの [May96] の中の Waner による Chapter X を見るとよい。Ferland と Lewis の目的は, 偶数次元の cell しか 持たない CW complex のホモロジーが自由アーベル群であることの一般化である。

• \(\mathrm {RO}(G)\)-graded Bredon-Illman (co)homology

Kronholm [Kro10] は, \(RO(G)\)-graded な Serre spectral sequence を構成している。

Costenoble と Waner [CW16] は, 更に Poincaré duality が 成り立つように拡張している。その際に fundamental groupoid の equivariant 版を用いている。

Motivic homotopy theory での類似は, Heller, Voineagu, Østvær [HVØ15; HVØ19] が定義している。

• motivic Bredon cohomology

References

[BO15]

Anna Marie Bohmann and Angélica Osorno. “Constructing equivariant spectra via categorical Mackey functors”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.1 (2015), pp. 537–563. arXiv: 1405.6126. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.537.

[Bre67]

Glen E. Bredon. Equivariant cohomology theories. Lecture Notes in Mathematics, No. 34. Berlin: Springer-Verlag, 1967, vi+64 pp. (not consecutively paged).

[BS]

Samik Basu and Debasis Sen. Representing Bredon cohomology with local coefficients. arXiv: 1206.2781.

[CW16]

Steven R. Costenoble and Stefan Waner. Equivariant ordinary homology and cohomology. Vol. 2178. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2016, pp. xiv+294. isbn: 978-3-319-50447-6; 978-3-319-50448-3. arXiv: math/0310237. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-50448-3.

[FL04]

Kevin K. Ferland and L. Gaunce Lewis Jr. “The \(RO(G)\)-graded equivariant ordinary homology of \(G\)-cell complexes with even-dimensional cells for \(G=\Z /p\)”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 167.794 (2004), pp. viii+129.

[HVØ15]

J. Heller, M. Voineagu, and P. A. Østvær. “Equivariant cycles and cancellation for motivic cohomology”. In: Doc. Math. 20 (2015), pp. 269–332. arXiv: 1304.5867.

[HVØ19]

J. Heller, M. Voineagu, and P. A. Østvær. “Topological comparison theorems for Bredon motivic cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 371.4 (2019), pp. 2875–2921. arXiv: 1602 . 07500. url: https://doi.org/10.1090/tran/7553.

[Ill73a]

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[Ill73b]

Sören Illman. “Equivariant singular homology and cohomology”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), pp. 188–192. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1973-13148-9.

[Ill75]

Sören Illman. “Equivariant singular homology and cohomology. I”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 1.issue 2, 156 (1975), pp. ii+74. url: https://doi.org/10.1090/memo/0156.

[Kro10]

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[May96]

J. P. May. Equivariant homotopy and cohomology theory. Vol. 91. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. With contributions by M. Cole, G. Comezaña, S. Costenoble, A. D. Elmendorf, J. P. C. Greenlees, L. G. Lewis, Jr., R. J. Piacenza, G. Triantafillou, and S. Waner. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1996, pp. xiv+366. isbn: 0-8218-0319-0.

[MM96]

Amiya Mukherjee and Goutam Mukherjee. “Bredon-Illman cohomology with local coefficients”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 47.186 (1996), pp. 199–219. url: http://dx.doi.org/10.1093/qmath/47.2.199.

[MS10]

Goutam Mukherjee and Debasis Sen. “Equivariant simplicial cohomology with local coefficients and its classification”. In: Topology Appl. 157.6 (2010), pp. 1015–1032. arXiv: 0905 . 2279. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2010.01.004.

[MS11]

Goutam Mukherjee and Debasis Sen. “Steenrod’s operations in simplicial Bredon-Illman cohomology with local coefficients”. In: Homology Homotopy Appl. 13.1 (2011), pp. 273–296. arXiv: 1009. 4893. url: http://dx.doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n1.a10.

[Nie]

Zhaohu Nie. A Functor Converting Equivariant Homology to Homotopy. arXiv: math/0603455.

[SN]

Pedro F. dos Santos and Zhaohu Nie. A model for equivariant Eilenberg-Mac Lane spectra. arXiv: 0804.0264.