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Lurie [Lur09] のおかげで, 高次の圏も一般的になってきた。
かつて, 圏論の研究者が考えていた高次の圏は, bicategory や tricategory のように, 高次の morphism
を持ち, それらの合成の結合法則や単位元の条件が up to isomorphism で成り立つように弱められ, 更にそれらの
isomorphism がある coherence condition を満し, というようなものだった。Object (\(0\)-morphism) と
morphism (\(1\)-morphism) に \(2\)-morphism, \(3\)-morphism と追加していって \(n\)-morphism まで考え,
それらがどのような条件を満すべきかが重要な問題だった。
一方, Joyal らが考え, Lurie により一般的になった \((\infty ,1)\)-category は, 全ての\(n\)に対し \(n\)-morphism が存在するが, \(n\ge 2\) 以上 の
\(n\)-morphism は全て可逆であると仮定されるものである。 Lurie は, 単に \(\infty \)-category と呼んでいるが, 正確には \((\infty ,1)\)-category
と呼ぶべきだろう。
文献としては, まず Lurie の本 [Lur09] を挙げるべきだろうが, 最近は他にも色々解説が書かれている。 以下に目についたものを挙げる:
- Bergner の解説 [Ber10]
- Groth の short course [Gro20].
- Camarena の [Cam]
- lecture note [RV20]
- Hinich の lecture note [Hin]
- Bergner の本 [Ber18]
- Land の本 [Lan21]
- Mazel-Gee の lecture notes [Maz]
- Riehl の essay [Rie]
- Cisinski の本 [Cis19]
- Rezk の course notes [Rez]
- Ravenel の解説 [Rav23]
現代数学では同型なものを同一視するのが基本だから, その意味では本質的なのは \(1\)-morphism (の同型類) であり, 一般の
\(n\)-category より, 通常の圏に近いものである。
そのような \((\infty ,1)\)-category の model としては, 最も有名なのは quasicategory だろう。他にも, simplicial set で
enrich された圏である simplicial category や, Segal category, そして complete Segal space
などがある。
これらは, quasicategory も含め model category として全て同値であることが知られている。最初の3つと
quasicategory の関係については, Bergner の解説 [Ber10] をみるとよい。 Camarena の \((\infty ,1)\)-category についての
survey [Cam] にもまとめられている。
Simplcial set でできることは, 基本的には cubical set でもできるはずであるが, 実際そのようなモデルもある。例えば,
[Doh+24] では, cubical quasicategory が提案されている。定義は46ページにある。
Curien らの [CLS24] では, quasicategory から simplicial category を作る rigidification
functor の cubical 版が構成されている。
Cubical model を用いたものとしては, Hackney と Rovelli が [HR22] で考えているものもある。
位相空間の圏と simplicial set の圏は model category として同値なので, 位相空間の圏で enrich された圏である
topological category も同じ目的で使えるのは, 当然と言えば当然である。例えば, Lurie の本 [Lur09] でも登場する。
Topological category の category の model structure の構成と他のモデルとの関係については, Amrani の
[Amr15] で調べられている。 最後のものについては, Horel の [Hor15] で model structure が定義され, 他の model
と Quillen 同値であることが示されている。
これらを統一的に扱うために, Riehl と Verity [RV17] は \(\infty \)-cosmos という概念を導入した。これは simplicially
enriched category で, ある条件をみたすものとして定義される。その object が \((\infty ,1)\)-category と呼ばれるべきものである。
上記のものの成す圏は全て \(\infty \)-cosmos になる, らしい。
Lurieは, 例えば [Lurc] で, \((\infty ,1)\)-category の応用として sheaf cohomology と cohomology
のホモトピー集合としての表示の関係の一般化を考えている。 [Lura] では, ホモロジー代数に現れる \((\infty ,1)\)-category, つまり chain
complex の圏からできる \((\infty ,1)\)-category の一般化を考えている。 ホモトピー圏を取ると triangulated category
になるものなので, いわゆる enhanced triangulated category の一つのモデルとなっている。
Enhanced triangulated category として良く使われるのは, (pretriangulated) dg category
であるが, dg category から \((\infty ,1)\)-category を作ることもできる。Lurie の [Lurb] にも登場するが, Dyckerhoff,
Kapranov, Soibelman の [DKS23] によると, Hinich と Schechtman [HS87] により simplicial set
として定義されたのが最初のようである。Dyckerhoff らは dg nerve と呼んでいる。 その \(A_{\infty }\)-版が, Foante の [Fao17]
で導入されている。
- dg nerve
- \(A_{\infty }\)-nerve
これらの様々な \((\infty ,1)\)-category のモデルの特徴付けとして, Toën [Toë05] は, model category が complete
Segal space の成す model category と Quillen 同値になるための7つの公理を発見した。つまり, これらの7つの公理をみたす
model category は, 全て \((\infty ,1)\)-category の category のモデルと考えられるということである。
\((\infty ,1)\)-category に対し, monoidal structure などの通常のcategory theory の概念を拡張することは,
当然考えられている。
\((\infty ,1)\)-category は, \(2\)次元以上の morphism が up to homotopy で inverse を持つものであるが,
高次の圏のモデルとして, \((n+1)\) 次元以上の morphism を invertible にした \((\infty ,n)\)-category も考えられている。
\(\infty \) までいかず, また \(1\) よりも上の次元の morphism が invertible であるもの, つまり \((n+k,k)\)-category については, Rezk が
[Rez10] で考えている。そこでは Joyal の \(\Theta _n\) が使われている。\(k=1\) で \(n=-1\) のとき, つまり \((0,1)\)-category は poset
とみなすべきもののようである。
Simplicial set を cubical set にしたモデルは, Kachour [Kac14] により考えられている。\((\infty ,n)\)-category
のモデルも導入されている。
- cubical weak \((\infty ,n)\)-category
Simplicial set を dendroidal set に変えること により, multicategory の \(\infty \) 版も考えられている。Cisinski と
Moerdijk の [CT12] である。 \(\infty \)-multicategory よりも \(\infty \)-operad という用語の方が一般的なようである。
- dendroidal Segal space
- dendroidal Segal category
更に, properad への一般化も Hackney, Robertson, Yau [HRY15] により考えられている。
応用は多岐にわたるが, 有名なのは extended TQFT, derived algebraic geometry, homotopy
type theory などだろう。 より幾何学的な応用として, Savelyev の [Sav23; Sav] などがある。 確率論 [Gaua] や
低次元トポロジー [Gaub] に使おうとしている人もいるが, 普及するだろうか。
群論を連結な基点つき \((\infty ,1)\)-groupoid に拡張しようという人 [PS17] もいる。Sylow の定理の類似などが考えられている。
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