Bicategory

Bicategory とは, (strict) \(2\)-category の定義の条件を少し弱めたものである。そのために weak \(2\)-category と呼ばれることもある。

Lack と Paoli の [LP08] によると, bicategory についての基本的な文献は, Bénabou の [Bén67], Kelly と Street の [KS74], そして Street の [Str80] である。 もっと新しいものとしては, Leinster の [Lei] がある。 最近のものでは, Johnson と Yau の [JY21] もある。

Lack と Paoli は, その論文で bicategory の \(2\)-nerve を導入している。 他にも, small bicategory に対して nerve や分類空間をとる方法は色々考えらえている。

• bicategory の nerve や分類空間

このように bicategory の nerve の構成に様々なものがある理由の一つは, bicategory の間の “functor” に様々なものがあるからである。

• pseudofunctor, lax functor, colax functor

Bicategory も \(2\)-category と同様様々な場面で見かけるようになった。例えば, Landsman の [Lan01]を見るとよい。 以下のような例が詳しく説明してある:

• object が ring, \(1\)-morphism が bimodule, \(2\)-morphism が bimodule の準同形, composition が tensor product, unit が canonical bimodule
• object が \(C^*\)-algebra, \(1\)-morphism が Hilbert \(C^*\)-bimodule, \(2\)-morphism が \(C^*\)-bimodule の準同形, composition が Rieffel の tensor product, unit が canonical Hilbert bimodule
• object が von Neumann algebra, \(1\)-morphism が correspondence, composition が Connes の tensor product, unit が standard form ([Bro03])
• object が Lie groupoid, \(1\)-morphism が regular bibundle, composition が Hilsum-Skandalis の tensor product, unit が canonical bibundle
• object が symplectic groupoid, \(1\)-morphism が regular symplectic bibundle, composition が Hilsum-Skandalis-Xu の tensor product, unit が canonical symplectic bibundle
• object が integrable Poisson manifold, \(1\)-morphism が regular symplectic bimodule, composition が Xu の tensor product, unitが\(s\)-connected \(s\)-simply connected symplectic groupoid

他にも次のような例がある:

• ある可換環 \(R\) の上の algebra \(A\) と coalgebra \(C\) を \(R\) 上 tensor する順序を入れ替える写像を objectとする bicategory [Ško]
• Müger は [Müg03] で von Neumann algebra の factor から得られるいくつかの bicategory について考えている。
• Soergel bimodule のある種の quotient を考えるときには, bicategory の表現が必要になる。([Mac+21])

これらの例から, bicategory は, 森田同値の概念と関係が深いことが分かる。

双対的に, coalgebra と bicomodule でも bicategory ができる。

もちろんこのような, “bimodule 的なもの”を \(1\)-morphism とするもの以外にも, small category と functor と natural transformation の成す \(2\)-category のように, \(1\)-morphism が本当に “object の間の morphism” であるものもある。

結合法則が strict に成り立つものは, Bartels, Douglas, Henriques の [BDH18] では, dicategory と呼ばれている。

• dicategory

高次の圏論の発展により, bicategory に higher invertible morphism を追加した \((\infty ,2)\)-category を考えることもできるようになった。例えば, Haugseng [Hau17] は, algebra と bimodule と bimodule homomorphism の bicategory を \((\infty ,2)\)-category に拡張している。

• \((\infty ,2)\)-category

Bicategory は, 「圏の圏」のようなものなので, 圏論の概念の類似が bicategory の object や morphism に対して定義できる。例えば, adjunction など。

• bicategory の morphism に対する adjunction

Bicategory での adjunction に関係がある概念として mate というものがある。 Balmer と Dell’Ambrogio の Mackey \(2\)-functor の定義 [BD20] の中で使われている。Johnson と Yau の本 [JY21] の §6.1 に書かれている。

• mate

もちろん, monad や comonad などの概念も一般化できる。 Small category の成す bicategory の場合が通常の monad や comonad になる。 Street は [Str72]でこのことをまとめ, bicategory \(\bm {C}\) の monad の成す bicategory \(\category {Mnd}(\bm {C})\) を構成している。 それは, 更に Lack と の共著 [LS02] で, より大きな bicategory \(\category {EM}(\bm {C})\) に拡張された。

• 一般の bicategory での monad や comonad

通常の category に対して成り立つ事実の bicategory に対する拡張もいろいろあるが, おそらく最も基本的なのは, bicategory に対 する Yoneda Lemma だろう。 Street の [Str74] にある。

• bicategory に対する Yoneda Lemma

これは, bicategory が strict な \(2\)-category と bicategory として同値になるという coherence theorem の証明にも使える。

• bicategory の coherence theorem

通常の category に関する概念の拡張としては, 次のようなものが考えられている。

• filtered bicategory [Ken92]
• fibration and Grothendieck construction [Buc14; Bakc; Bakb]
• localization [Pro96; PW14; Tom16; Toma; Tomb; Tomc]

Niles Johnson は, [Joh] で, この bicategory の Yoneda Lemma は, Morita 同値を考える際にも有用であることを指摘している。 また, 2つの object の間の 1-morphism の成す圏が triangulated category や model category の構造を持つ場合を考えている。 Descotte と Dubuc と Szyld [DDS22] は, model bicategory の概念を導入している。

• triangulated bicategory
• model bicategory

Johnson は, [Joh14] で bicategory での Azumaya object を考えているが, そこでは symmetric monoidal category の many-objectification である symmetric bicategory という概念が使われている。

• symmetric bicategory

Monoidal structure を持つ bicategory, つまり monoidal bicategory やその symmetric version, symmetric monoidal bicategory というものもよく使われるからややこしい。

• monoidal bicategory と関連した構造

元々 fixed point theory, そして trace のために考えられた bicategory に関する概念として shadow というものがある。Ponto の [Pon10] で導入された。

• shadow on bicategory

最近では, topological Hochschild homology との関係も発見されている。Campbell と Ponto の [CP19] や Hess と Rasekh の [HR] など。

ある category の span から作られる bicategory も bimodule のなす bicategory の一種である。Lack, Walters, Wood [LWW10] はそのような bicategory で, もとの category が finite limit を持つようなものを特徴づけている。 そこで用いられているのは, Cartesian bicategory という構造である。

• cartesian bicategory

Carboni と Walters [CW87] により ordered bicategory に対し定義されたが, その後 Carboni, Kelly, Walters, Wood の [Car+07] で, 一般の bicategory に定義が拡張されている。

Bicategory の作用を考えている人 [Baka] もいる。Bicategory の図式に対する Grothendieck construction (homotopy colimit) を考えている人 [CCG11] もいる。

Douglas と Henriques [DH]は, category の成す 2-category の中の bicategory object を internal bicategory と呼んで調べている。

Supercategory の bicategory版として superbicategory という構造も考えられる。Murfet の [Mur18] に登場する。

• superbicategory

もっとも, Murfet の [Mur18] での主題は, cut system という bicategory と類似の構造である。

• cut system

Matrix factorization などに使えるようである。

References

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