Generalizations and Variations of Monoidal Categories

Monoidal category に関係した構造としては, まず symmetric monoidal category や braided monoidal category のように, monoidal category にいくつか条件をつけたもの, あるいは構造を付け加えたものがある。 Sözer と Virelizier [SV] では, crossed module により 次数付けられた monoidal category が導入されているが, これも monoidal category に構造を付け加えたものである。より古くは, 群による次数付けを持つ monoidal category もある。

• symmetric monoidal category
• braided monoidal category
• group-graded monoidal category
• monoidal category graded by crossed module

Ponto と Shulman [PS12] は, small category \(S\) から symmetric monoidal category の成す bicategory への pseudofunctor のことを, \(S\)-indexed symmetric monoidal category と呼んでいる。\(S\) による grading の双対的な概念である。

• indexed monoidal category

Fusion category などのような monodal structure を持つ linear category は, 表現論などで良く使われる。

• 表現論などで使われる linear monoidal category

そのようなものの中には, coproduct を持つ comonoidal category というものもある。Femic [Fem21] によると, Neuchl の Ph.D thesis で導入されたらしい。更に, Femic は finite tensor category 上の coring category の概念を導入している。

• comonoidal category
• coring category

2つ以上の monoidal structure を持つものも様々な場面で登場する。

• 複数の monoidal structure を持つ category

逆に, monoidal category の条件を弱めたものも考えられている。

• premonoidal category ([PR97])
• coboundary category
• skew-monoidal category
• monoidal category with dual
• lax and colax monoidal category
• pivotal category and spherical category ([BW99])
• fusion category ([ENO05])
• ribbon category ortortile monoidal category ([Lyu95; Shu94])
• modular tensor category
• \(G\)-equivariant tensor category ([Kir])
• \(G\)-modular functor ([KP])
• Ann-category ([Qua])
• unipotent category ([EG08])
• quasisymmetric category ([EG08])
• involutive monoidal category or monoidal supercategory ([Jac12; BE17])
• \(A_n\)-monoidal category ([FGV12])
• crossed group category ([Tur])

Operad を用いて monoidal structure の条件を記述することは, Haderi と Stern [HS] でも考えられている。

• operad \(\cO \) に対し \(\cO \)-monoidal category

Buckley らは [Buc+15] で monoidal category に対する nerve として, object 1つの bicategory とみなして, bicategory の nerve を取るべきだと主張している。

• monoidal nerve

Janelidze と Street [JS17] は, 可算個の元を一度に足す操作を持つ代数的構造として, series magma や series monoid という構造を導入し, その category 版として series monoidal category という可算個の object を一度に tensor できるものを考えている。

• series monoidal category

高次の圏でも monoidal structure は考えられている。かなり複雑ではあるが。

• 高次の圏での monoidal structure

Brayton Gray は, [Gra11] で co-Hopf space の category が “up to homotopy” で monoidal structure を持つことを示している。このように, model structure を用いて monoidal category の定義を弱めることができることについては, まだちゃんと定式化されていないように思える。 Monoidal model structure という概念はあるが。

References

[BE17]

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[Buc+15]

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[BW99]

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[EG08]

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[PR97]

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[PS12]

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[Qua]

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[Shu94]

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[SV]

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[Tur]

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