多重ループ空間

基点付き空間 \(X\) の \(n\)重ループ空間 \(\Omega ^nX\) は, \(n=1\) のときと \(n\ge 2\) のときで本質的な違いがある。 ホモトピー可換性である。 そのホモトピー可換性に着目することにより, 多重ループ空間の特徴付けなど, 多重ループ空間の理論が発展してきた。 多重ループ空間の研究の動機や初期の発展については, Stasheff の解説 [Sta71] をみるとよい。

まず, 荒木と工藤 [KA56b; KA56a] や Boardman と Vogt [BV68; BV73] らの研究があり, その後 Peter May [May72] が recoginition principle を証明した。

\(n=\infty \) のときも考える。 無限ループ空間という。

Peter May は, 多重ループ空間, 特に無限ループ空間についての基本的な研究を Springer Lecture Notes などから多数出版している。 [May72; CLM76; May77; Bru+86] などである。それらの PDF が May のホームページから download できるようになっているのはうれしい。

面白い試みとしては, Mark Johnson [Joh01]による多重ループ空間をある topological category上の presheafとみなす, というものがある。

このように, \(n=1\) と \(n=\infty \) の場合はきれいな理論になることが多いが, \(1<n<\infty \) の場合に model category 的に調べているのが, Berger の [Ber07] である。\(n=2\) の場合も braid 群を用いるとうまくいくのであるが, \(2<n<\infty \) の場合が問題である。 これ については, Batanin の [Bat10] がある。

さて, 代数的トポロジーを専攻するにあたって, 多重ループ空間についてどれぐらいのことを知っておくべきだろうか。 とりあえず, 思いついたことを挙げると次のような感じになる。

• little cubes operad とその変種
• 多重ループ空間をはじめとした写像空間のモデル
• delooping machine
• 無限ループ空間
• ループ空間のホモロジー

ループ空間は, monoidal structure を持つ small category とも関係が深い。 そのことも知っていると見通しがよくなる。この関係は, \(2\)重ループ空間と braided monoidal category, 無限ループ空間と symmetric monoidal category に一般化されている。更に, \(n\)重ループ空間に対応したものとして, \(n\)重 monoidal category という概念もある。

• monoidal category の分類空間と\(1\)重ループ空間の関係 [Mac65; Sta63]
• braided monoidal category と\(2\)重ループ空間との関係
• symmetric monoidal categoryと無限ループ空間との関係
• \(n\)重monoidal category と\(n\)重ループ空間との関係

当然, monoidal functor と分類空間上の loop map が対応している。 このことを用いて, braid群と mapping class group の安定ホモロジーの間の写像の自明性を証明したのは, Song と Tillmann [ST07] である。彼らは, ループ空間を monoidal category の分類空間として表すことによりその間の loop map を monoidal functor として考える, というその手法を categorical delooping と呼んでいる。

別の視点では, Biedermann と Dwyer が [BD10] で homotopy \(n\)-nilpotent group という概念を導入している。

• homotopy \(n\)-nilpotent group

\(n=\infty \) の場合が loop空間で \(n=1\) の場合が無限ループ空間となる。 Biederman と Dwyer は, その途中の \(n\) に対しては, operad による recognition principle は存在しないだろうと言っている。この問題に対しては, Batanin による locally constant \(n\)-operad を用いた答え [Bat10] がある。

Biederman と Dwyer は, algebraic theory を用いている。 Goodwillie 流の関手の微積分と関係が深いようで, もっとよく理解する必要があるだろう。

「自然に」現れる多重ループ空間としては, 80年代に物理との関係で調べられていた空間がある。 Boyer と Mann の [BM88b; BM88a] など。ただし, Jeremy Miller [Mil] は, その double loop structure は Fred Cohen によるものだと書いている。

\(n\)重ループ空間 \(\Omega ^{n}X\) への little \(n\)-cubes operad \(\cC _{n}\) の作用から, suspension spectrum \(\Sigma ^{\infty }(\Omega ^{n}X)\) への \(\cC _{n}\) の作用が誘導され, \(\Sigma ^{\infty }(\Omega ^{n}X)\) は \(E_{n}\)-ring spectrum になる。 一方, function spectrum \(F(\Sigma ^{n}X,S)\) も \(E_{n}\)-ring spectrum になるが, この MathOverflow での質問は, それらが \(E_{n}\)-ring spectrum として Koszul dual ではないか, というものである。Kuhn が自分の論文 [Kuh04] を参照して, 回答している。

References

[Bat10]

Michael A. Batanin. “Locally constant \(n\)-operads as higher braided operads”. In: J. Noncommut. Geom. 4.2 (2010), pp. 237–263. arXiv: 0804.4165. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/54.

[BD10]

Georg Biedermann and William G. Dwyer. “Homotopy nilpotent groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 33–61. arXiv: 0709.3925. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.33.

[Ber07]

Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270. arXiv: math/0512575. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.

[BM88a]

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[BM88b]

Charles P. Boyer and Benjamin M. Mann. “Monopoles, nonlinear \(\sigma \) models, and two-fold loop spaces”. In: Comm. Math. Phys. 115.4 (1988), pp. 571–594. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161085.

[Bru+86]

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[BV68]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. “Homotopy-everything \(H\)-spaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), pp. 1117–1122.

[BV73]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. x+257.

[CLM76]

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[Joh01]

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[KA56b]

Tatsuji Kudo and Shôrô Araki. “Topology of \(H_n\)-spaces and \(H\)-squaring operations”. In: Mem. Fac. Sci. Kyūsyū Univ. Ser. A. 10 (1956), pp. 85–120.

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[Mac65]

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[May72]

J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. viii+175.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

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Jeremy Miller. The topology of the space of \(J\)-holomorphic maps to \(\CP ^2\). arXiv: 1210.7377.

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Yongjin Song and Ulrike Tillmann. “Braids, mapping class groups, and categorical delooping”. In: Math. Ann. 339.2 (2007), pp. 377–393. arXiv: math/0609597. url: https://doi.org/10.1007/s00208-007-0117-z.

[Sta63]

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[Sta71]

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