組み合せ論

一口に組み合せ論 (combinatorics) と言っても, 非常に幅広い分野である。 当然 combinatorial structure を調べる分野であるが, どういうものが combinatorial structure なのだろうか。一つの指針としては, Rota が [KRS08]の Chapter 6として書いている文章がある。(Rotaが この中で予測したことの評価を Pak がblogに書いている。)

• 数え挙げの手法
• partition と Young tableaux
• グラフとその一般化や変種
• quiver
• 組み合せ論的データとしてのポセット
• hyperplane arrangement
• 凸多面体の組み合せ論
• 単体的複体
• CW複体をはじめとした cell complex
• matroid
• oriented matroid
• その他の面白そうな組み合せ論的構造

このように雑多の分野の寄せ集めという感じなので, どこから勉強していいか分り辛い。まずは全体像を知りたい。 いくつか本もあるが, 最近 arXiv に出た [Ada+] は, YouTube のビデオへのリンクが含まれていて, 面白い構造になっている。 有名なのは, Stanley の本 [Sta97; Sta99] だろうが。 サーベイとしては, Lenart の [Len] や Brini と Teolis の [BT] がある。

私自身は, configuration space のことを考えていて必要になったので, hyperplane arrangement, そして oriented matroid のことを勉強した。 自分の考えている問題に近いところから入るのが, 効率が良いと思う。

一方で, 組み合せ論は基本的な構造を研究する分野なので, 昔から代数的トポロジーで基礎として使われてきた事実も含まれている。 Rota の文章でも組み合せ論の typical and most successful application として代数的トポロジーが挙げられている。 また 単体的複体のように, かつてトポロジーで中心的な役割を果したものが, 組み合せ論で有用な道具や研究対象として「復活」していたりする。 Borsuk-Ulam の定理など, 古典的なトポロジーの定理の組み合せ論的な類似も考えられている。 [JW10] の Introduction をみるとよい。

• posetのホモトピー論
• 多面体に関連したトポロジーの問題
• topological combinatorics

別の方向でのホモトピー論との関連では, model structure の集合の組み合せ論的構造が興味深い。Balchin ら [Bal+] は, \([n]=\{0<1< \cdots <n\}\) 上の model structure を調べているが, [BMO] でその結果を finite lattice に一般化している。 その際, Barton の thesis [Bar] で導入された premodel structure という model structure の一般化が用いられているのが興味深い。彼等は, そのような研究を homotopical combinatorics と呼んでいる。

• homotopical combinatorics

組み合せ論的構造は, quiver を始めとして, 表現論で登場することも多い。 Fiebig の [Fie08] の Introduction にも書いてあるように, 表現論的な情報と幾何学的情報を関連付けるのに, 組み合せ論的な対象を用いるとスッキリすることが多いようである。

• 組み合せ論と代数
• tropical mathematics
• 組み合せ論での層

References

[Ada+]

Henry Adams, Kelly Emmrich, Maria Gillespie, Shannon Golden, and Rachel Pries. Counting Rocks! An Introduction to Combinatorics. arXiv: 2108.04902.

[Bal+]

Scott Balchin, Kyle Ormsby, Angélica M. Osorno, and Constanze Roitzheim. Model structures on finite total orders. arXiv: 2109. 07803.

[Bar]

Reid William Barton. A model 2-category of enriched combinatorial premodel categories. arXiv: 2004.12937.

[BMO]

Scott Balchin, Ethan MacBrough, and Kyle Ormsby. Composition closed premodel structures and the Kreweras lattice. arXiv: 2209. 03454.

[BT]

A. Brini and A. Teolis. Discrete Mathematics. arXiv: 2012.12691.

[Fie08]

Peter Fiebig. “Sheaves on moment graphs and a localization of Verma flags”. In: Adv. Math. 217.2 (2008), pp. 683–712. arXiv: math/ 0505108. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.08.008.

[JW10]

Pallavi Jayawant and Peter Wong. “A combinatorial analog of a theorem of F. J. Dyson”. In: Topology Appl. 157.10-11 (2010), pp. 1833–1838. arXiv: math/0608204. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.02.020.

[KRS08]

Mark Kac, Gian-Carlo Rota, and Jacob T. Schwartz. Discrete thoughts. Modern Birkhäuser Classics. Essays on mathematics, science and philosophy, Revised and corrected edition with the assistance of Peter Renz, Reprint of the (1992) second edition [Birkhäuser Boston, Boston, MA; MR1171450]. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008, pp. xii+266. isbn: 978-0-8176-4774-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4775-9.

[Len]

Cristian Lenart. The many faces of modern combinatorics. arXiv: 1503.04240.

[Sta97]

Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 1. Vol. 49. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. With a foreword by Gian-Carlo Rota, Corrected reprint of the 1986 original. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. xii+325. isbn: 0-521-55309-1; 0-521-66351-2.

[Sta99]

Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 2. Vol. 62. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. With a foreword by Gian-Carlo Rota and appendix 1 by Sergey Fomin. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+581. isbn: 0-521-56069-1; 0-521-78987-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511609589.