環論や体論など代数学の基礎

代数的トポロジーは, 幾何学的対象に対し代数的対象を対応させ, その代数的対象の構造を調べることにより幾何学的情報を得る。 より詳しい情報を得るためには, より複雑な代数的対象を用いる必要がある。

例えば, cohomology \(H^{*}(X;k)\) を次数付き \(k\)-加群とみなすだけでは区別できない空間も, 次数付き \(k\)-algebra とみなすと区別できることがある。\(\bbC \mathrm {P}^{2}\) と \(S^{2}\vee S^{4}\) とか。 更に, Steenrod algebra 上の module algebra と考える方が, もっと良い情報を得られる。

とにかく, 環と加群の理論の基本は身に付けておかないといけない。

• 環とその上の加群
• 可換環論
• 体論の基本と Galois 理論
• 森田同値
• \(\F _1\)などの“generalized ring”
• formal algebra
• 代数的な微分作用素
• Frobenius 環と関連した概念
• 可換とは限らないが結合的な代数
• invariant theory
• Koszul duality
• 群や Hopf algebra などの環への作用

また, cohomology theory を表現する spectrum \(E\) は, cohomology の積に対応する射 \[ \mu : E\wedge E \rarrow {} E \] を持ち, ring spectrum というものになる。 この ring spectrum に対しても, 通常の環論やホモロジー代数の類似が展開できる。

• spectrum の圏における構成
• (ホモロジー) 代数的構成のホモトピー論的類似

安定ホモトピー論との関係では, Mendéz の [Mén] もある。与えられた環が, 安定ホモトピー圏でのある object の endomorphism ring として実現できるか, という問題を考えている。

• endomorphism ring

もちろん, より一般に, Abel群の圏で enrich された圏が与えられたとき, その圏での object の endomorphism ring として実現できる環はどのようなものか, という問題が考えられる。 群についての対応する問題は, 与えられた圏での object の automorphism group として実現できる群はどんなものか, というものであるが, これについては色々調べられている。

環の場合の endomorphism ring としての実現問題は, どの程度調べられているのだろうか。

References

[Mén]

David Méndez. The ring of stable homotopy classes of self-maps of \(A_n^2\)-polyhedra. arXiv: 2006.13724.