Intersection Homotopy Theory

Intersection homology をホモトピー論の範疇に持ち込む端緒を切り開いたのは, Gajer の論文 [Gaj96] である。Gajer は, intersection homotopy group を定義し, それに対し Dold-Thom の定理の intersection 版が成り立つと主張した。

残念ながら, その主張が間違いであるということが, Totaro により指摘されたようで, corrigendum [Gaj98] が出ている。

Gajer は, singular simplicial set の intersection 版となるべき simplicial set を導入したのであるが, そのホモロジーが intersection homology と同型である, という主張が間違っていたようである。 ただ, Gajer の導入した simplicial set のホモトピー群として intersection ホモトピー群は定義できる。

• Gajer の simplicial set
• intersection ホモトピー群

間違いがあったからか, Gajer の定義した simplicial set や intersection ホモトピー群について調べた人は, その後現れなかったように思うが, 最近, Chataur ら [CST] が調べ始めている。

別の方向からは, Banagl が空間レベルの構成を行なっている。 Banagl は [Ban10]で, stratified pseudomanifold \(X\) と perversity \(p\) に対し, Poincaré duality をみたす空間 \(I^{p}X\) を構成している。 Banagl と Maxim の [BM12] では, intersection space と呼ばれている。

• Banagl の intersection space

やはり, そのホモロジーは, intersection homology とは一致しないようであるが, この intersection space のホモトピー型を調べるのが, intersection homotopy theory の一つの方向かもしれない。

Chataur らが [CST] で書いているように, そのホモロジーが intersection homology と同型になるような空間が存在しないだろうことは, 既に Habegger の論文 [Hab86] で1980年代に指摘されていたようである。

Chataur ら [CST18] は, 別の方向として, rational homotopy theory の intersection homology 版を提案している。

• perverse algebraic model

Chataur と Circi [CC] は, 孤立特異点を持つ複素代数多様体の場合を調べている。

References

[Ban10]

Markus Banagl. Intersection spaces, spatial homology truncation, and string theory. Vol. 1997. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xvi+217. isbn: 978-3-642-12588-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12589-8.

[BM12]

Markus Banagl and Laurentiu Maxim. “Deformation of singularities and the homology of intersection spaces”. In: J. Topol. Anal. 4.4 (2012), pp. 413–448. arXiv: 1101.4883. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525312500185.

[CC]

David Chataur and Joana Cirici. Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities. arXiv: 1603.09125.

[CST]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. Perverse homotopy groups. arXiv: 2211.06096.

[CST18]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. “Intersection cohomology, simplicial blow-up and rational homotopy”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 254.1214 (2018), pp. viii+108. arXiv: 1205.7057. url: https://doi.org/10.1090/memo/1214.

[Gaj96]

Paweł Gajer. “The intersection Dold-Thom theorem”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 939–967. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(95)00053-4.

[Gaj98]

Paweł Gajer. “Corrigendum: “The intersection Dold-Thom theorem” [Topology 35 (1996), no. 4, 939–967; MR1404919 (97i:55013)]”. In: Topology 37.2 (1998), pp. 459–460. url: https://doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00040-2.

[Hab86]

Nathan Habegger. “An intersection homology obstruction to immersions”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 96.4 (1986), pp. 693–697. url: https://doi.org/10.2307/2046327.