Limit と colimit

圏と関手の言葉を用いると, 様々な概念が統一的に扱えるようになる。その良い例が, limit と colimit である。

かつて, 逆極限 (inverse limit) とか射影的極限 (projective limit) と呼ばれていたものは, 現在では cofiltered limit と呼ぶべきだろう。直積や pull-back などと合せ limit として統一して扱うことができる。 Dwyer と Spalinski の モデル圏の解説 [DS95] には, 分かりやすい (co)limit の解説も含まれている。

• 直積 (product)
• 引き戻し (pull-back)
• equalizer
• cofiltered limit
• limit

一方, かつて直極限 (direct limit) などと呼ばれていたものは, 現在では filtered colimit と呼ばれる。 直和や push-out なども colimit である。

• 直和 (sum) あるいは余積 (coproduct)
• push-out
• coequalizer
• filtered colimit
• colimit

Limit と colimit の 定義は universal property で与えられるのが普通である。 それを言い換えると, adjoint functor の言葉になる。

• \(\bm {X}\) を 小圏, \(\bm {C}\) を圏とする。 \(\category {Funct}(\bm {X},\bm {C})\) を, \(\bm {X}\) から \(\bm {C}\) への関手の成す圏とし \[ \Delta : \bm {C} \longrightarrow \category {Funct}(\bm {X},\bm {C}) \] を constant diagram functor とすると, \[ \lim : \category {Funct}(\bm {X},\bm {C}) \longrightarrow \bm {C} \] は \(\Delta \) の right adjoint functor である。また \[ \colim : \category {Funct}(\bm {X},\bm {C}) \longrightarrow \bm {C} \] は \(\Delta \) のleft adjoint functor である。

このことから, 次のことがすぐ分かる。

• adjoint functor の組 \[ F : \bm {C} \longleftrightarrow \bm {D} : G \] に対し, \(F\) は colimit を保ち, \(G\) は limit を保つ。

  つまり left adjoint は colimit を保ち, right adjoint は limit を保つ。

Limit を取らないで, 図式を1つの object として考えることも重要である。 これも Grothendieck のアイデアなのだろうか。 SGA4 [SGA4-172] の exposé 1 に詳しく書かれている。 ind-object と pro-object と呼ばれるものである。 ホモトピー論では, pro-object の方がよく使われる。

• ind-object と pro-object

Limit と colimit の可換性については, よく知られているのは filtered colimit と finite limit の場合である。その一般化としては, Bjerrum, Johnstone, Leinster, Sawin の [Bje+] などがある。

任意の limit と colimit で閉じている圏は, 様々な構成が自由にできて非常に便利である。 よって, モデル圏の条件の一つにもなっている。

• 空な圏 \(\emptyset \) を, object の集合 (よって morphism の集合も) が空集合である圏として定義する。このとき一意的に決まる関手 \[ \emptyset : \emptyset \longrightarrow \bm {C} \] に対し \(\lim \emptyset \) は, (もし存在すれば) \(\bm {C}\) の initial object であり, \(\colim \emptyset \) は, \(\bm {C}\) の terminal object である。

  よって small limit で閉じている圏は initial object を持ち, small colimt で閉じている圏は terminal object を持つ。

• 集合の圏は small limit と colimit で閉じている。
• 位相空間の圏は small limit と colimit で閉じている。
• Abel群の圏は small limit と colimit で閉じている。

上の最後の三つのことを確かめるには, limit と colimit の具体的な構成が必要である。普通は (co)equalizer で構成する。

• 集合の圏での limit と colimit の構成
• 位相空間の圏での limit と colimit の構成
• Abel群の圏での limit と colimit の構成

Abel群の圏, より一般に Abel圏での sequential (co)limit は, 様々な場面で現われるので, 嫌でも慣れ親しむしかない。 また sequential limit に対しては, その derived functor である \(\lim ^1\) も知っておく必要がある。

• \(\lim ^1\) の定義

Abelian category での sequential limit と \(\lim ^1\) については, Eilenberg と Moore の [EM62] を読むとよいだろう。 日本語なら [荒木捷75] に解説がある。 Abel群の圏での重要な性質としては, Mittag-Leffler condition の下で \(\lim ^1\) が消えることがあるが, これは一般の Abelian category では成り立たない。 Roosの [Roo61] での「定理」に対する反例が, Neeman により [Nee02] で与えられている。

• Mittag-Leffler condition

その後, Roos は, [Roo06] で Mittag-Leffler condition の下で \(\lim ^1\) が消えるためにはどのよう条件が必要かを考察している。

より一般の limit や colimit の derived functor については, あまり詳しく扱ったものがないようである。例えば, Oliver の [Oli94] には limit の derived functor を計算するための resolution について書いてある。 後は Bousfield と Kan の [BK72] ぐらいだろうか。 と思っていたら, 最近 Ivanov と Mikhailov の [IM15] が出た。 群のホモロジーなどに使うことを考えている。

Limit や colimit の derived functor のホモトピー版が, Bousfield と Kan の本のタイトルにもある, ホモトピー極限である。

• homotopy limit と homotopy colimit

Colimit で閉じている圏では, 有限でない morphism の列の合成が考えられる。

• transfinite composition

これは, 例えば cofibrantly generated model category を扱う際に必要になる。

Small category を colimit で閉じた圏にする (cocompletionをとる) するためには, presheaf の圏を考えれば良い, というのが, Day と Lack の [DL07]である。

定義域の圏も値域の圏も同じ圏で enrichされている場合には, indexed (co)limit あるいは weighted (co)limit という enrichment も考慮に入れた (co)limit の一般化を考えるべきである。Kelly の [Kel82] に詳しい。

\(2\)-category での極限には様々な問題があり, 注意が必要である。Fiore の [Fio06] は, conformal field theory の基礎付けのために, \(2\)-category の limit などを考えたものである。

References

[Bje+]

Marie Bjerrum, Peter Johnstone, Tom Leinster, and William F. Sawin. Notes on commutation of limits and colimits. arXiv: 1409.7860.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. v+348.

[DL07]

Brian J. Day and Stephen Lack. “Limits of small functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.3 (2007), pp. 651–663. arXiv: math/0610439. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.019.

[DS95]

W. G. Dwyer and J. Spaliński. “Homotopy theories and model categories”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 73–126. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50003-1.

[EM62]

Samuel Eilenberg and John C. Moore. “Limits and spectral sequences”. In: Topology 1 (1962), pp. 1–23. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(62)90093-9.

[Fio06]

Thomas M. Fiore. “Pseudo limits, biadjoints, and pseudo algebras: categorical foundations of conformal field theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 182.860 (2006), pp. x+171. arXiv: math/0408298.

[IM15]

Sergei O. Ivanov and Roman Mikhailov. “A higher limit approach to homology theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.6 (2015), pp. 1915–1939. arXiv: 1309.4920. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.07.016.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[Nee02]

Amnon Neeman. “A counterexample to a 1961 “theorem” in homological algebra”. In: Invent. Math. 148.2 (2002). With an appendix by P. Deligne, pp. 397–420. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220100197.

[Oli94]

Bob Oliver. “Higher limits via Steinberg representations”. In: Comm. Algebra 22.4 (1994), pp. 1381–1393. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879408824911.

[Roo06]

Jan-Erik Roos. “Derived functors of inverse limits revisited”. In: J. London Math. Soc. (2) 73.1 (2006), pp. 65–83. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610705022416.

[Roo61]

Jan-Erik Roos. “Sur les foncteurs dérivés de \(\underleftarrow \lim \). Applications”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 252 (1961), pp. 3702–3704.

[SGA4-172]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.

[荒木捷75]

荒木捷朗. 一般コホモロジー. Vol. 4. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.