位相や距離の概念の拡張

位相空間の概念の拡張としては, まず Grothendieck topology そして topos がある。

• Grothendieck topology
• topos

より位相空間に近いものとして, Garner [Gar12b] の ionad がある。

• ionad

Delf と Knebusch の [DK85] で使われている “generalized topological space” も Grothendieck topology の特別な場合である。 開集合に対応する部分集合族で定義されるが, 和集合に関しては有限個の和集合で閉じていることしか仮定されない。その代わり, covering の familiy が指定されている。Delf と Knebusch は, その generalized topological space 上の ringed space を用いて semialgebraic space, そして locally semialgebraic space という概念を導入している。

• semialgebraic space と locally semialgebraic space

幾何学的要請から登場したものとしては, coarse structure や bornological space がある。Chen や Souriau の考えた, diffeology というものもある。

• coarse structure
• bornology
• diffeology

Bubenik と Milićević [BM] は, 応用トポロジーのために, 位相空間と graph と quiver を含む枠組みとして closure space を使うことを提案している。 Demaria らの [DG84] のように pretopological space と呼ばれることもあるようである。

• closure space

Proper homotopy theory のための exteriology というものを持つ exterior space というものもある。 García-Calcines の [Gar12a] によると, García-Calcines と Garcia-Pinillos と Hernandez-Paricio の [GGH98] で導入されたもののようである。 彼等は, [GGH04] で, その圏の上の model structure を構成している。また, [GHR13] では, 力学系への応用が考えられている。

• exterior space

Category theory の視点からは, 位相空間の category は cartesian closed でないなどの不具合があるので, 位相空間の category を含むような良い category を構成しようという試みがある。 Garner の [Gar14] の Introduction には, 次のようなものが挙げられている。

• epitopological space
• quasitopological space
• convergence space
• pseudotopological space
• approach space
• uniformity space
• proximity space あるいは nearness space
• filter space
• Kelley space

この中で, epitopological space と pseudotopological space については, Dossena [Dosa] により, topological fundamental group を拡張するために用いられている。 Epitopological space についての文献としては, Antoine の [Ant66], Bourdaud の [Bou75], Machado の[Mac73] が挙げられている。

Approach space は Lowen [Low89] により導入されたものである。 Li と Zhang の [LZ18]では, Lowen の本 [Low15] も参照されている。

Proximity space や nearness space と呼ばれているものは, Wikipedia によると, Riesz により1909年に導入された後, 何人かの人により再発見されている。文献としては, Wallace の [Wal41] 挙げるべきなのだろうか。ただし, そこでは separation space と呼ばれているので, 誰が proximity space や nearness space と名付けたかは不明である。その連結性として equiconnected という概念が Mrówka と Pervin の [MP64] で導入されているが, そこでは proximity space と呼ばれている。

Dossena は [Dosb]で neighborhood space というものについて調べている。Kent と Min の [KM02] を参照している。

• neighborhood space

より初等的なアイデアとしては, 集合 \(X\) の巾集合 \(2^X\) を写像 \(X\to \{0,1\}\) の集合とみなし, \(\{0,1\}\) をより大きな集合 \(L\) に取り替えるというものもある。Noor と Singh の [NS] では \(L\)-topology と呼ばれている。

• \(L\)-topology

他に, locale も位相の一般化と言ってよいだろう。 位相空間の開集合族の成す lattice が locale の典型的な例だからである。

• locale と関連した概念

代数幾何学的には, 位相空間の上に sheaf of commutative rings が乗った ringed space を考えるのが普通である。 その一般化として, Durov の vectoid [Dur] などがある。

• ringed space
• vectoid

Pramanik と Basu と Deb Ray [PBR] によると, Morgan は category base の理論を一連の論文 [Mor74; Mor77a; Mor77b; Mor82] の中で構築したらしい。Lebesgue measurable set や Marczewski set [Sch89] を含むもののようである。Pramanik らは, category base がどのような場合に位相になるかを考えている。

• category base

References

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[BM]

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[Bou75]

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[DG84]

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