Quasitopological Spaces

Quasitopological space は, 閉集合族の代わりに compact Hausdorff 空間からの写像の族を指定した 位相空間の一般化 である。Spanier に より [Spa63] で導入された。

Compact Hausdorff 空間からの写像ということで, compact 生成空間との関係が気になるが, それについては, Ribeiro の [Rib] がある。 また, Grothendieck topology の文脈では, Dubuc と Español の [DE] で調べられている。

もともと, Spanier はホモトピー論のための conveniet category を構成するために quasitopology を考えたようであるが, 現在ではその目的にはほとんど使われることはない。

一方, \(C^{*}\)-algebra の文脈では, Gel\('\)fand-Naimark duality の pro-\(C^{*}\)-algebra への拡張に登場する。 Dubuc と Porta の [DP80] である。

また, Browne [Bro] により, separable \(C^*\)-algebra の \(E\)-theory を表す spectrum を構成するのにも使われている。

最近では, Chirvasitu と Tobolski [CT] により, 非可換 principal bundle の文脈で用いられている。

References

[Bro]

Sarah L. Browne. \(E\)-theory Spectra for graded \(C^{*}\)-algebras. arXiv: 1708. 03258.

[CT]

Alexandru Chirvasitu and Mariusz Tobolski. Non-Commutative classifying spaces of groups via quasi-topologies and pro-\(C^*\)-algebras. arXiv: 2304.14681.

[DE]

Eduardo J. Dubuc and Luis Español. Quasitopoi over a base category. arXiv: math/0612727.

[DP80]

Eduardo J. Dubuc and Horacio Porta. “Uniform spaces, Spanier quasitopologies, and a duality for locally convex algebras”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 29.1 (1980), pp. 99–128.

[Rib]

Willian Ribeiro. Compactly generated spaces and quasi-spaces in topology. arXiv: 1908.04287.

[Spa63]

E. Spanier. “Quasi-topologies”. In: Duke Math. J. 30 (1963), pp. 1–14. url: http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077374518.