代数的トポロジーを行なうのに便利な圏

Steenrod [Ste67] は, 代数的トポロジーを行なうのに便利な圏 (convenient category) としてコンパクト生成空間の圏を考えた。

• コンパクト生成空間

“convenient cateogry” というのは数学用語として定義されたものではないが, Lewis [Lew85] によると, 次の３つの性質を持つ圏という意味で使われることが多いようである。

1. 重要な空間を全て含んでいる。
2. complete かつ cocomplete, つまり任意の limit と colimitで閉じている。
3. Cartesian closed である。

コンパクト生成空間の圏は便利なだけでなく, その上でホモトピー論ができること, つまりmodel category になることも証明されている。

• コンパクト生成空間の圏が “convenient category” であること
• 弱ホモトピー同値を weak equivalence としたコンパクト生成空間の圏の model structure (Hovey の本 [Hov99])
• ホモトピー同値を weak equivalence としたコンパクト生成空間の圏の model structure (Hastings [Has74])

よって, 現代的には Lewis の3つの条件に, 更に model category の構造を持つことも追加すべきだろう。

コンパクト生成空間の一般化としては, 位相空間の圏のある full subcategory \(\cJ \) で 「生成された」 \(\cJ \)-generated space という概念がある。 その中でも, 単体達 \(\{\Delta ^{n}\}_{n\ge 0}\) で生成されたものは, \(\Delta \)-generated space と呼ばれている。 Jeff Smith の書いたものはないが, Dugger の [Dug03] がある。 Shimakawa, Yoshida, Haraguchi の [SYH18] で diffeological space の文脈で numerically generated space として導入されたものも同じものであるが, \(\Delta \)-generated space という名前の方が一般的である。

• \(\Delta \)-generated spaces and, more generally,\(\cJ \)-generated spaces

Steenrod のアイデアは, 位相空間の圏の full subcategory で “convenient category” になっているものを見付けることだった。 逆に位相空間の圏の不完全さを補うように“完備化する”こと, つまり位相空間の圏を含む圏で必要な性質を持つものも考えられる。Johnstone [Joh79] によると, その 試みとして次のようなものがあるらしい: [Cho48; Kow54; Fis59; Ant66a; Ant66b; Edg76]

Johnstone 自身は, その二つのアイデアの中間をとった構成を行なっている。 つまり sequential space の圏を full subcategory として含む topos の構成を行なっている。Sequential space は [Fra65] で定義された空間である。

• sequential space
• Johnstone の論文 [Joh79] で定義された topos \(\mathcal {E}\) とその基本性質

より幾何学的な視点からは, 写像やホモトピーとして proper なものを考えることも多い。そのための “convenient category” もいくつか提案されている。

• proper homotopy theory

References

[Ant66a]

J.-P. Antoine. “Étude de la dégénérescence orbitale du potentiel coulombien en théorie des groupes. I”. In: Ann. Soc. Sci. Bruxelles Sér, I 80 (1966), pp. 169–184.

[Ant66b]

Philippe Antoine. “Étude élémentaire des catégories d’ensembles structurés. II”. In: Bull. Soc. Math. Belg. 18 (1966), pp. 387–414.

[Cho48]

G. Choquet. “Convergences”. In: Ann. Univ. Grenoble. Sect. Sci. Math. Phys. (N.S.) 23 (1948), pp. 57–112.

[Dug03]

Danial Dugger. Notes on Delta-generated spaces. 2003. url: http://pages.uoregon.edu/ddugger/delta.html.

[Edg76]

G. A. Edgar. “A Cartesian closed category for topology”. In: General Topology and Appl. 6.1 (1976), pp. 65–72.

[Fis59]

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[Fra65]

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[Has74]

Harold M. Hastings. “Fibrations of compactly generated spaces”. In: Michigan Math. J. 21 (1974), 243–251 (1975). url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029001312.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Joh79]

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[Kow54]

Hans-Joachim Kowalsky. “Limesräume und Komplettierung”. In: Math. Nachr. 12 (1954), pp. 301–340.

[Lew85]

L. Gaunce Lewis Jr. “Open maps, colimits, and a convenient category of fibre spaces”. In: Topology Appl. 19.1 (1985), pp. 75–89. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(85)90087-2.

[Ste67]

N. E. Steenrod. “A convenient category of topological spaces”. In: Michigan Math. J. 14 (1967), pp. 133–152. url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1028999711.

[SYH18]

Kazuhisa Shimakawa, Kohei Yoshida, and Tadayuki Haraguchi. “Homology and cohomology via enriched bifunctors”. In: Kyushu J. Math. 72.2 (2018), pp. 239–252. arXiv: 1010 . 3336. url: https://doi.org/10.2206/kyushujm.72.239.