Coalgebra とその上の comodule

名前からも分かるように, algebra の dual が coalgebra である。Coalgebra については, Brzeziński と Wisbauer の本 [BW03] がある。その一般化である coring に関する本であるが, 第1章で coalgebra について詳しく解説している。 Hopf algebra に関する文献も, coalgebra に関することを含んでいるのが普通である。例えば, Milnor と Moore の [MM65] にも coalgebra のことは書いてある。 ただ, monoidal category での comonoid object として理解しておく方が, 良いと思う。

• \(k\)-module の category での comonoid object としての coalgebra
• coalgebra 上の left comodule と right comodule

Algebra \(A\)の上のright module \(M\)と left module \(N\) が与えられると, tensor product \(M\otimes _{A}N\) が, coequalizer として定義できるが, 同様に right comodule と left comodule の cotensor product が, equalizer として定義できる。

• coalgebra \(C\) 上の right comodule \(M\) と left comodule \(N\) に対し, その cotensor product \(M\Box _{C} N\)
• cotensor product の derived functor としての \(\mathrm {Cotor}\)

\(\mathrm {Cotor}\) は, Eilenberg と Moore の [EM64]で最初に登場したのではないかと思う。 より有名な文献は [EM65; EM66] だと思うが。 これらの Eilenberg と Moore の論文では, もう1つ contramodule というものも定義されている。そして contramodule に対しては, \(\mathrm {Cohom}\) とその derived functor の \(\mathrm {Coext}\) が定義される。

• coalgebra 上の contramodule

可換環 \(k\) 上の coalgebra は, \(k\)-module の成す symmetric monoidal category での comonoid object であるが, 他の monoidal category での comonoid object を考えることも行なわれている。例えば, Brzeziński と Wisbauer の本 [BW03] は, (可換とは限らない) algebra \(A\) 上の bimodule の成す monoidal category での comonoid object を扱っている。

• coring とその上の comodule

位相空間の圏ような, monoidal structure が product で与えられている場合は, 任意の comonoid は cocommutative になる。 Péroux と Shipley [PS19] によると, 現代的な spectrum の圏でも 任意の comonoid は必ず cocommutative になるようで, 興味深い。 ただ, Lurie による spectrum の \(\infty \)-category では noncocommutative な comonoid が存在するようであるが。

Algebra に対しては, Hochschild (co)homology が定義されるが, 当然その構成の dual を考えることもできる。 最初に考えたのは, Cartier [Car56] だろうか。Saneblidze の [San09] では, Cartier homology と呼ばれている。Hess らの [HPS09] によると, Doi の [Doi81] でも同様のものが考えられているようである。

Coalgebra や comodule が現われる例として Cohen と Montgomery の [CM84] は興味深い。群による grading が, そのgroup ring の coalgebra 上の comodule の構造とうまく対応している。これは, 自然に small category による grading に一般化 [Tam] できる。Small enriched category も, bicomodule の言葉で定義するのが自然である。

代数的な構造から定義される coalgebra としては, Sweedler の measuring coalgebra がある。

• \(k\)-algebra \(A\) と \(B\) に対し, measuring coalgebra \(P(A,B)\to \mathrm {Hom}_k(A,B)\)

導入されたのは, Sweedler の [Swe69] であるが, その後 Batchelor [Bat00] によって調べられている。基本的なことは, まずは Batchelor と Thomas の [BT] の Appendix を見てみるとよい。興味深いのは, algebra の category が measuring coalgebra を使って, coalgebra のcategory で enrichされることである。

• coalgebra で enrich された algebra の category

Measuring coalgebra の一般化も色々考えられている。例えば, Batchelor の [Bat00], Vasilakopoulou の [Vas], Hyland, López Franco, Vasilakopoulou の [HLV17], Banerjee と Kour の [BK22], López Franco と Vasilakopoulou の [FV], Péroux の [Pér22] など。

また, Agore と Militaru [AM20] によると dual version は Tambara [Tam90] により導入されたようである。

Coalgebra や bialgebra の category での limit や colimit については, Agore の [Ago11a; Ago11b] が, comodule の category での limit や colimit については, Lyubinin [Lyu] がある。

Tensor algebra の dual construction である cotensor algebra の構成は, module の圏では, Nichols [Nic78] が, 一般のAbelian monoidal category では, Ardizzoni と Menini と Stefan [AMŞ07] が考えている。

量子群に対しては, compact という概念が考えられるが, Abella, Ferrer Santos, Haim の [ASH09] のアプローチを用いれば, \(\bbC \) 上の coalgebra に対して compact 性が考えられる。

• compact \(\circ \)-coalgebra

ややこしいことに, category theory の人は, comodule のことを coalgebra と呼んだりするようである。Leinster の [Lei11] や Karazeris と Matzaris と Velebil の [KMV11] など。 後者の論文の中で考えられている final coalgebra と Ardizzoni と Menini と Stefan の cotensor coalgebra の関係はどうなっているのだろう。

Chain complex の成す symmetric monoidal category での comonoid object は, differential graded coalgebra と呼ばれる。 代数的トポロジーではよく登場する。

• differential graded coalgebra (dg coalgebra) とその上の comodule
• twisted tensor product

Dold-Kan correspondence により, dg module と simplicial module が対応するので, dg coalgebra と同じぐらい simplicial coalgebra が使われていても不思議ではないが, simplicial coalgebra は, それほど目にする機会がないように思う。 最近では Rivera ら [RWZ22] が空間の代数的モデルに使うことを提案している。 また, [RR] では, 単体的集合から生成された simplicial coalgebra のホモトピー論を調べている。

• simplicial coalgebra

Algebra の bar construction の dual として coalgebra に対する cobar construction が定義できる。もちろん, dg coalgebra に対してもその構成を拡張できる。

• cobar construction

Adams の [Ada56] が最初に cobar construction について書かれた文献だろうか。ただ, Adams によると, 同じ構成は独立に H. Cartan によって考えられていて, “cobar” という名前も Cartan によるらしい。

Kadeishvili [Kad05] は, dg bialgebra の cobar construction が homotopy Gerstenhaber algebra の構造を持つことを示している。

References

[Ada56]

J. F. Adams. “On the cobar construction”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 42 (1956), pp. 409–412. url: https://doi.org/10.1073/pnas.42.7.409.

[Ago11a]

A. L. Agore. “Categorical constructions for Hopf algebras”. In: Comm. Algebra 39.4 (2011), pp. 1476–1481. arXiv: 0905.2613. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927871003705583.

[Ago11b]

A. L. Agore. “Limits of coalgebras, bialgebras and Hopf algebras”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 139.3 (2011), pp. 855–863. arXiv: 1003.0318. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2010-10542-7.

[AM20]

A. L. Agore and G. Militaru. “A new invariant for finite dimensional Leibniz/Lie algebras”. In: J. Algebra 562 (2020), pp. 390–409. arXiv: 2006.00711. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.07.005.

[AMŞ07]

A. Ardizzoni, C. Menini, and D. Ştefan. “Cotensor coalgebras in monoidal categories”. In: Comm. Algebra 35.1 (2007), pp. 25–70. arXiv: math/0507334. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870600936856.

[ASH09]

Andrés Abella, Walter Ferrer Santos, and Mariana Haim. “Compact coalgebras, compact quantum groups and the positive antipode”. In: São Paulo J. Math. Sci. 3.2 (2009), pp. 193–229. arXiv: 0907.1183.

[Bat00]

Marjorie Batchelor. “Measuring comodules—their applications”. In: J. Geom. Phys. 36.3-4 (2000), pp. 251–269. arXiv: math/9806148. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(00)00024-3.

[BK22]

Abhishek Banerjee and Surjeet Kour. “On measurings of algebras over operads and homology theories”. In: Algebr. Geom. Topol. 22.3 (2022), pp. 1113–1158. arXiv: 1909 . 13835. url: https://doi.org/10.2140/agt.2022.22.1113.

[BT]

Marjorie Batchelor and Jordan Thomas. Universal measuring coalgebras and \(R\)-transformation algebras. arXiv: 0912.1204.

[BW03]

Tomasz Brzezinski and Robert Wisbauer. Corings and comodules. Vol. 309. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. xii+476. isbn: 0-521-53931-5. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546495.

[Car56]

Pierre Cartienr. “Cohomologie des coalgèbres”. In: Sém. Sophus Lie 2.5 (1955/56), pp. 1–18.

[CM84]

M. Cohen and S. Montgomery. “Group-graded rings, smash products, and group actions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 282.1 (1984), pp. 237–258. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999586.

[Doi81]

Yukio Doi. “Homological coalgebra”. In: J. Math. Soc. Japan 33.1 (1981), pp. 31–50. url: http://dx.doi.org/10.2969/jmsj/03310031.

[EM64]

Samuel Eilenberg and J. C. Moore. “Homological algebra and fibrations”. In: Colloque de Topologie (Brussels, 1964). Librairie Universitaire, Louvain, 1964, pp. 81–90.

[EM65]

Samuel Eilenberg and J. C. Moore. “Foundations of relative homological algebra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. No. 55 (1965), p. 39.

[EM66]

Samuel Eilenberg and John C. Moore. “Homology and fibrations. I. Coalgebras, cotensor product and its derived functors”. In: Comment. Math. Helv. 40 (1966), pp. 199–236. url: https://doi.org/10.1007/BF02564371.

[FV]

Ignacio López Franco and Christina Vasilakopoulou. Duoidal categories, measuring comonoids and enrichment. arXiv: 2005 . 01340.

[HLV17]

Martin Hyland, Ignacio López Franco, and Christina Vasilakopoulou. “Hopf measuring comonoids and enrichment”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 115.5 (2017), pp. 1118–1148. arXiv: 1509.07632. url: https://doi.org/10.1112/plms.12064.

[HPS09]

Kathryn Hess, Paul-Eugène Parent, and Jonathan Scott. “CoHochschild homology of chain coalgebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.4 (2009), pp. 536–556. arXiv: 0711.1023. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.08.001.

[Kad05]

T. Kadeishvili. “On the cobar construction of a bialgebra”. In: Homology Homotopy Appl. 7.2 (2005), pp. 109–122. arXiv: math/0406502. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839377.

[KMV11]

Panagis Karazeris, Apostolos Matzaris, and Jiří Velebil. “Final coalgebras in accessible categories”. In: Math. Structures Comput. Sci. 21.5 (2011), pp. 1067–1108. arXiv: 0905 . 4883. url: https://doi.org/10.1017/S0960129511000351.

[Lei11]

Tom Leinster. “A general theory of self-similarity”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 2935–3017. arXiv: 1010 . 4474. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.10.009.

[Lyu]

Anton Lyubinin. On Limits and Colimits Of Comodules over a Coalgebra in a Tensor Category. arXiv: 1309.2835.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[Nic78]

Warren D. Nichols. “Bialgebras of type one”. In: Comm. Algebra 6.15 (1978), pp. 1521–1552. url: https://doi.org/10.1080/00927877808822306.

[Pér22]

Maximilien Péroux. “The coalgebraic enrichment of algebras in higher categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.3 (2022), Paper No. 106849, 11. arXiv: 2006. 09408. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2021.106849.

[PS19]

Maximilien Péroux and Brooke Shipley. “Coalgebras in symmetric monoidal categories of spectra”. In: Homology Homotopy Appl. 21.1 (2019), pp. 1–18. arXiv: 1708 . 02592. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2019.v21.n1.a1.

[RR]

George Raptis and Manuel Rivera. The simplicial coalgebra of chains under three different notions of weak equivalence. arXiv: 2206. 06335.

[RWZ22]

Manuel Rivera, Felix Wierstra, and Mahmoud Zeinalian. “The simplicial coalgebra of chains determines homotopy types rationally and one prime at a time”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 375 (2022), pp. 3267–3303. arXiv: 2006.05362. url: https://doi.org/10.1090/tran/8579.

[San09]

Samson Saneblidze. “The bitwisted Cartesian model for the free loop fibration”. In: Topology Appl. 156.5 (2009), pp. 897–910. arXiv: 0707.0614. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.11.002.

[Swe69]

Moss E. Sweedler. Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969, pp. vii+336.

[Tam]

Dai Tamaki. The Grothendieck construction and gradings for enriched categories. arXiv: 0907.0061.

[Tam90]

D. Tambara. “The coendomorphism bialgebra of an algebra”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 37.2 (1990), pp. 425–456.

[Vas]

Christina Vasilakopoulou. Enrichment of Categories of Algebras and Modules. arXiv: 1205.6450.