Morse 理論とその拡張

Morse 理論に関しては, 有名なのは Milnor の本 [Mil63] である。 日本語なら, 横田の [横田一78] を読むのも良いかもしれない。 Lie 群を例に色々具体的を計算してある。Bott による解説 [Bot88] や ここから download できる Chen による簡単な解説を先に読んでから, これらの本を読んでみるのも良いと思う。 Hutchings の informal lecture notes [Hut] もある。

• Morse 関数

Morse 不等式は, 多様体の \(k\) 次 Betti 数が Morse 関数の index \(k\) の critical point の数で抑えられるということを言っている。 \(L^2\)-Betti 数についても Morse 不等式が成り立つことを示したのは, Novikov と Shubin [NS86] である。Farber は [Far96] で更に extended \(L^2\)-(co)homology を導入し, Novikov らの結果を改良している 。

• Morse 不等式
• \(L^2\)-Morse 不等式
• asymptotic \(L^2\)-Morse 不等式 (Mathai と Shubin の [MS96])
• extended \(L^2\)-(co)homology と Morse 不等式

Betti 数ではなく, ホモロジー, そしてホモトピー型を, Morse 関数から得ようというのは自然な欲求である。そのためには, transversality を満たした良い Morse 関数が必要になる。

• Morse-Smale 関数
• Morse-Bott (Morse-Bott-Smale) 関数

これらの良い Morse 関数があると chain complex が作れ, その ホモロジーが, その多様体の整係数ホモロジーと同型になる。Critical point の集合が submanifold になっている場合も, 適当な条件を満たせば chain complex が作れ, 元の多様体のホモロジーが得られる。この事実は, Banyaga と Hurtubise の [BH10] では, Morse Homology Theorem と呼ばれている。

• Morse Homology Theorem

Floer homology を目指した Morse homology の解説として, Audin と Damian の [AD14] がある。

積を考えるためには, cohomology 版が必要になる。Morse chain complex の相対として Morse cochain complex を定義するとはできるが, 問題は cup 積に対応する積を持つか, ということである。 特異 cochain complex のような結合的な積を定義することは難しいが, Fukaya [Fuk93] は \(A_{\infty }\)-structure を用いることを提案している。 実際に, Morse cochain complex 上の \(A_{\infty }\)-algebra の構造を定義したものとしては, Abouzaid の [Abo11], そしてその詳細を書いた Mescher の [Mes; Mes18] がある。

• Morse cochain complex

ホモトピー論的には, chain complex よりも, その多様体のホモトピー型を表す有限 CW複体が得られるとうれしい。 そのような試みとして, 例えば Kalmbach の [Kal75] がある。 また, R. Cohen と Jones と Segal の preprint [CJS] では, Morse 関数に対し topological category を構成し, その 分類空間が元の多様体とホモトピー同値や同相になるものが作れることが主張されている。 Morse-Smale 関数による cell 分割については, Burghelea と Friedlander と Kappeler の [BFK10] をまず見てみるとよいと思う。

• gradient flow の moduli 空間と Cohen-Jones-Segal Morse theory

Morse-Bott 関数から作られる flow category は, Zhou の [Zho24] で考えられている。

Morse 理論は, Morse 関数というよりも, それからできる \(1\)-form \(df\) の性質と多様体のホモトピー型に関する関係を述べていると考えることができる。 Riemann計量が入っていれば, \(df\) をベクトル場に直して gradient vector field \(\mathrm {grad} f\) を考えることができるし, その方が一般的だろう。

• gradient vector field (gradient flow)

Pajitnov [Paj] によると, Morse 理論で gradient flow を使うことを思い付いたのは, R. Thom [Tho49] らしい。Pajitnov も書いているように, Riemann 計量を使わなくても vector field を構成することはできるが。

Morse 関数の間の deformation などを考えようとすると, Morse 関数より一般的な特異点を持つ関数を考える必要が出てくる。他にも様々な Morse 理論の一般化が考えられている。

• Morse 理論の一般化

Morse 関数のような実数値関数からは, level set の同じ connected component に属する点を同一視することにより, Reeb graph という graph ができる。Reeb space という一般化もある。

• Reeb graph や Reeb space

References

[Abo11]

Mohammed Abouzaid. “A topological model for the Fukaya categories of plumbings”. In: J. Differential Geom. 87.1 (2011), pp. 1–80. arXiv: 0904.1474. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1303219772.

[AD14]

Michèle Audin and Mihai Damian. Morse theory and Floer homology. Universitext. Translated from the 2010 French original by Reinie Erné. Springer, London; EDP Sciences, Les Ulis, 2014, pp. xiv+596. isbn: 978-1-4471-5495-2; 978-1-4471-5496-9; 978-2-7598-0704-8. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4471-5496-9.

[BFK10]

Dan Burghelea, Leonid Friedlander, and Thomas Kappeler. “On the space of trajectories of a generic gradient like vector field”. In: An. Univ. Vest Timiş. Ser. Mat.-Inform. 48.1-2 (2010), pp. 45–126. arXiv: 1101.0778.

[BH10]

Augustin Banyaga and David E. Hurtubise. “Morse-Bott homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.8 (2010), pp. 3997–4043. arXiv: math/0612316. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05073-7.

[Bot88]

Raoul Bott. “Morse theory indomitable”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 68 (1988), 99–114 (1989). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0.

[CJS]

R. L. Cohen, J.D.S. Jones, and G. B. Segal. Morse theory and classifying spaces. preprint. url: http://math.stanford.edu/~ralph/morse.ps.

[Far96]

M. S. Farber. “Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities”. In: Geom. Funct. Anal. 6.4 (1996), pp. 628–665. arXiv: dg-ga/9606013. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02247115.

[Fuk93]

Kenji Fukaya. “Morse homotopy, \(A_{\infty }\)-category, and Floer homologies”. In: Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology ’93 (Seoul, 1993). Vol. 18. Lecture Notes Ser. Seoul: Seoul Nat. Univ., 1993, pp. 1–102.

[Hut]

Michael Hutchings. Lecture notes on Morse homology (with an eye towards Floer theory and pseudoholomorphic curves). url: https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps.

[Kal75]

Gudrun Kalmbach. “On some results in Morse theory”. In: Canadian J. Math. 27 (1975), pp. 88–105. url: https://doi.org/10.4153/CJM-1975-011-0.

[Mes]

Stephan Mescher. Perturbed gradient flow trees and \(A_\infty \)-algebra structures on Morse cochain complexes. arXiv: 1611.07916.

[Mes18]

Stephan Mescher. Perturbed gradient flow trees and \(A_\infty \)-algebra structures in Morse cohomology. Vol. 6. Atlantis Studies in Dynamical Systems. Atlantis Press, [Paris]; Springer, Cham, 2018, pp. xxv+171. isbn: 978-3-319-76583-9; 978-3-319-76584-6. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-76584-6.

[Mil63]

J. Milnor. Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1963, pp. vi+153.

[MS96]

Varghese Mathai and Mikhail Shubin. “Twisted \(L^2\) invariants of non-simply connected manifolds and asymptotic \(L^2\) Morse inequalities”. In: Russian J. Math. Phys. 4.4 (1996), pp. 499–526. arXiv: dg-ga/9610018.

[NS86]

S. P. Novikov and M. A. Shubin. “Morse inequalities and von Neumann \(\mathrm {II}_{1}\)-factors”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 289.2 (1986), pp. 289–292.

[Paj]

A. Pajitnov. \(C^0\)-topology in Morse theory. arXiv: math/0303195.

[Tho49]

René Thom. “Sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variété”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 228 (1949), pp. 973–975.

[Zho24]

Zhengyi Zhou. “Morse–Bott cohomology from homological perturbation theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.3 (2024), pp. 1321–1429. arXiv: 1902.06587. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.1321.

[横田一78]

横田一郎. 多様体とモース理論. 京都: 現代数学社, 1978, p. 195. isbn: 978-4768700280.