位相群やLie群などに関連したこと

このページには, 位相群の一般化と考えられるもの, そしてそれらに関係したページへの link を集めてみた。 結果的にあまり関連性のないものの寄せ集めになってしまった。

Lie群とその表現については, The Atlas of Lie Groups and Representations という website がある。 PDF 形式の解説論文等も手に入る。

まずはLie群について。

• 行列群
• Lie 群の基礎
• Lie 群の有限部分群
• Lie 群に関連した空間
• Lie algebra
• Lie 群および関連した空間の (コ) ホモロジー
• Lie 群および関連した空間のホモトピー論
• 無限次元 Lie 群と Lie 環
• 表現論
• 代数群と group scheme
• algebraic supergroup や supergroup scheme

次に位相群やその作用について。

• 局所コンパクト群とコンパクト群
• 群の作用する空間
• 同相写像や微分同相写像の成す位相群
• Polish 群

Polish 群とは, 位相空間として Polish space になっている位相群のことである。

Hopf 空間はホモトピー論的な位相群の一般化である。 他にも様々な見方から位相群の概念が一般化できる。

• Hopf 空間
• co-Hopf 空間
• 量子群
• Lie \(2\)-group と Lie \(2\)-algebra
• topological groupoid
• Lie groupoid
• 群の概念の一般化

積の連続性を弱めたものとして, quasitopological group というものがある。

• quasitopological group

積 \(G\times G\to G\) は連続とは限らないが, 各 \(g\in G\) を右あるいは左からかける写像 \(G\to G\) が連続であり, 逆元を取る操作が連続であるものとして定義される。 例えば, 基本群に compact-open topology の等化位相を入れたものが典型的な例である。 Brazas と Fabel の [BF15] では, Arhangel\('\)skii と Tkachenko の本 [AT08] が参照されている。

References

[AT08]

Alexander Arhangel\('\)skii and Mikhail Tkachenko. Topological groups and related structures. Vol. 1. Atlantis Studies in Mathematics. Atlantis Press, Paris, 2008, pp. xiv+781. isbn: 978-90-78677-06-2. url: http://dx.doi.org/10.2991/978-94-91216-35-0.

[BF15]

Jeremy Brazas and Paul Fabel. “On fundamental groups with the quotient topology”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.1 (2015), pp. 71–91. arXiv: 1304.6453. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0042-7.