Conformal Field Theory

Conformal field theory は, 様々な扱い方がある。トポロジストには Segal の定式化が最も理解しやすいかもしれない。出版されたものとしては, [Seg88] があったが, Segal の60歳記念のシンポジウムの論文集 [Til04] に150ページ余りのものが収録された。それ (と関連した Segal のアイデア) を詳しく解説したものとして, Stolz と Teichner の [ST04] があり, こちらの方がいいだろう。 Gannon は, conformal field theory を用いると, 様々な分野の興味深い現象を関連づけることができるということを強調した解説 [Gan08] を書いている。

基本的なアイデアは, object を \(1\)次元多様体, morphism をそれらを繋ぐ Riemann面 とした category (cobordism category) を考えることである。 Riemann面の間の写像も考えると \(2\)-category (cobordism \(2\)-category) になり, また mapping class group も自然に関係してくる。

Conformal field theory の rigorous な定義としては, Hu と Kriz の [HK04] がある。そこでは、 stack of lax commutative monoids with cancellation の間の map として定義してある。その motivation は, 楕円コホモロジーの幾何学的構成が持つべき conformal field theory との関係である。そのため conformal field theory の分類空間を定義している。他の Po Hu と Igor Kriz の仕事も見るべきだろう。 Kriz のホームページから preprint が download できる。その流れで, conformal field theory の categorical foundation について調べたのが Fiore の [Fio06] である。

Riemann面の cobordism category からベクトル空間の圏への monoidal functor が最も基本的な conformal field theory の定義であるが, 定義域や値域を取り換えて variation を考えることも, もちろん行なわれている。 Riemann面の cobordism category を topological category とみなし, 別の topological monoidal category への continuous monoidal functor を考えることもできる。代数的に考えようと思うなら, cobordism category の morphism の成す空間 (つまりRiemann面の moduli space) をその chain complex で置き換えて dg category を作り, そこから chain complex の category への monoidal functor を考えればよい。そのような dg category version は topological conformal field theory と呼ばれるらしい。

• topological conformal field theory

Costello の [Cos07] によると, topological conformal field theory の定義は, Getzler [Get94] と Segal によるらしい。Zernik の修論 [Zer] で, topological category version が詳しく解説されている。最後の section に chain complex に持っていくにはどうすればよいかについても触れてある。

Savelyev の [Sav] は, Stolz と Teichner [ST04] の elliptic object の topological conformal field theory の視点からの類似を考えようという試みである。

Petersen [Pet13] によると topological conformal field theory の代数幾何版が Kontsevich と Manin [KM94] の cohomological field theory らしい。

• cohomological field theory

\(2\)次元の topological quantum field theory と Frobenius algebra との間にはよく知られた関係があるが, conformal field theory についても, Frobenius algebra を用いて構成しようという試みがある。Runkel と Fjelstad と Fuchs と Schweigert の [Run+07] によると, conformal field theory の構成は complex analytic な部分と algebraic な部分に分けられ, algebraic な部分は Frobenius algebra と深く関連しているそうである。その代数的 (圏論的) 概念と物理学的概念の対応表が Fuchs と Runkel と Schweigert の [FRS07] にある。

Segal が最初に定義したのは, いわゆる closed string の conformal field theory であったが, open string も含めた, open and closed string theory のモデルも色々考えられている。それについては, Costello の [Cos07] の Introduction が分かりやすい。

• open-closed field theory

Huang と Kong の[HK07] によると, 数学的に扱われてきた conformal field theory は, 主に chiral な部分であり antichiral な部分が不足しているらしい。そのために, 彼等は full field algebra という概念を導入した。

このように, conformal field theory には様々な興味深い代数的構造が現れる。 Vertex operator algebra の概念はこの分野で発見されたものである。Freed は [Fre94] で \(2\)-vector space などの概念をどのように使えばいいかのアイデアを述べている。

• vertex operator algebra

またホモトピー的構造を持った代数の一つである \(\mathcal {L}_{\infty }\)-algebra や Batalin-Vilkovisky algebra が関係していることが発見されている。(多分 Zwiebach [Zwi93; Zwi95] によるもの?)

Conformal field theory の axiom から Moore と Seiberg が導き出した多項式の方程式系から modular tensor category の概念が生れた。

他にはfusion rule あるいは, fusion ring という semiring も conformal field theory から発見された。Davydov の [Dav97] などを見るとよい。

References

[Cos07]

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[Dav97]

A. A. Davydov. “On some Hochschild cohomology classes of fusion algebras”. In: The International Conference on Secondary Calculus and Cohomological Physics (Moscow, 1997). Diffiety Inst. Russ. Acad. Nat. Sci., Pereslavl\('\) Zalesskiy, 1997, 15 pp. (electronic).

[Fio06]

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[Fre94]

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[Gan08]

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[Get94]

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[HK04]

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[HK07]

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[Pet13]

Dan Petersen. “The operad structure of admissible \(G\)-covers”. In: Algebra Number Theory 7.8 (2013), pp. 1953–1975. arXiv: 1205. 0420. url: https://doi.org/10.2140/ant.2013.7.1953.

[Run+07]

Ingo Runkel, Jens Fjelstad, Jürgen Fuchs, and Christoph Schweigert. “Topological and conformal field theory as Frobenius algebras”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 225–247. arXiv: math / 0512076. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08275.

[Sav]

Yasha Savelyev. Floer-Fukaya theory and topological elliptic objects. arXiv: 1202.4118.

[Seg88]

G. B. Segal. “The definition of conformal field theory”. In: Differential geometrical methods in theoretical physics (Como, 1987). Vol. 250. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1988, pp. 165–171.

[ST04]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “What is an elliptic object?” In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, pp. 247–343. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511526398.013.

[Til04]

Ulrike Tillmann, ed. Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, pp. xii+577. isbn: 0-521-54049-6. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.

[Zer]

Amitai Zernik. Invitation to Topological Conformal Field Theories. arXiv: 1011.2700.

[Zwi93]

Barton Zwiebach. “Closed string field theory: quantum action and the Batalin-Vilkovisky master equation”. In: Nuclear Phys. B 390.1 (1993), pp. 33–152. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90388-6.

[Zwi95]

Barton Zwiebach. “Closed-string field theory: an introduction”. In: Gravitation et quantifications (Les Houches, 1992). Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 647–678.