Formal Group Law

Formal group law は, さまざまな数学の分野に登場する。 中心となるのは 数論と代数的トポロジーだと思うが, 例えば, hypergraph の chromatic symmetric function との関係が Jair Taylor の thesis [Tay16] で発見されたりしている。

代数的トポロジーでは, Quillen [Qui69] のおかげで 複素コボルディズムと関連が発見された。 1次元のものであるが。

• formal power series ring
• 可換環 \(R\) 上の formal group law の定義
• formal group law の間の homomorphism
• 可換環 \(R\) 上の formal group law の圏 \(\category {FGL}/R\)
• 環準同型 \(f : R \to S\) から誘導された functor \[ f_* : \category {FGL}/R \longrightarrow \category {FGL}/S \]
• formal group law の間の isomorphism
• formal group law の間の strict isomorphism
• complex oriented cohomology theory と \(1\)-dimensional commutative formal group law の関係

Formal group law については複素コボルディズムに関する Ravenel の本 [Rav03] の他に, Hazewinkel の本 [Haz78] がある。 Panov による Manifold atlas の記事は, 基本的なことが簡潔にまとめられている。 Genus との関係も書いてある。Ravenel の本で不足する代数的トポロジーに必要な事柄については, Strickland の note [Str] が便利である。

現代的な formal group law と ring spectrum の対応としては, Hopkins-Miller theorem を知っているべきだろう。

• Hopkins-Miller theorem [Rez98]

最も基本的な性質として, Lazard による universal formal group law を定義するための環 (Lazard ring) が可算個の変数を持つ多項式環であることが挙げられる。 その証明にはいくつかあるが, 組み合せ論的なものとして, Lenart の [Len98] がある。

• Lazard ring

Lazard ring は多項式環というきれいな形をしているわけであるが, 他にも \(\mathrm {BU}\) のコホモロジーなどのように, 「理不尽なほどきれい」な形をしたものは色々ある。 そのようなものを集めたのが, Hazewinkel の [Haz09] である。

代表的な\(1\)次元 formal group law としては, 代数曲線から得られるものがある。

• additive formal group law
• multiplicative formal group law
• elliptic curveのformal group law

それぞれ対応するコホモロジー論を持つ。

• additive formal group law に対応するコホモロジー論は, 常コホモロジーである。
• multiplicative formal group law に対応するコホモロジー論は, \(K\)理論である。
• elliptic curve の formal group law に対応するコホモロジー論は, 楕円コホモロジーである。

複素コボルディズムと\(1\)次元 formal group law の関係は, 最近では formal group law の moduli空間を用いて述べるのが普通である。 Moduli空間と言えば stack であるが, formal group law の moduli stack とその 安定ホモトピー論への応用を考えているのは, Naumann [Nau] である。

Ginzburg と Kapranov と Vasserot は [GKV] で \(R\)-matrix と一般コホモロジーの 関係について述べている。

Formal group 上の measure を考えている人 [Wal] もいる。その motivation は, complex oriented cohomology の上の power operation wである。

以上のことで, \(1\)次元の formal group law が現われたのは, \(\CP ^{\infty }\) の complex oriented cohomology theory を考えたからである。その定義から, \(h^*(-)\) が complex oriented cohomology theory なら \(h^*(\CP ^{\infty })\) は \(1\)変数の formal power series ring になり, よって \(\CP ^{\infty }\) の Hopf space structure から \(1\)次元 formal group law ができる。可換性は, もちろん \(\CP ^{\infty }\) が可換な Hopf space (実際には topological group) であることに由来する。

ということは, より複雑な Hopf space を用いれば高次元の formal group law が得られ, そこから有用な情報が取り出せるのではないか, と考えるのは自然である。問題は, Hopf space の一般コホモロジーを計算しなければならないことである。 この問題に取り組み始めたのは, Buchstaber と Lazarev の [BL07] である。彼等は Ravenel と Wilson による Eilenber-Mac Lane space の Morava \(K\)-theory の計算 [RW80] を基に, \(K(n)^*(K(\Z ,q))\) に定義される formal group law を考察している。

• Dieudonné ring と Dieudonné module

代数多様体に対するホモトピー論の発達により, formal group law と complex oriented cohomology theory の対応は, 代数多様体上の cohomology theory へ 拡張された。これについては, Levine と Morel の [LM07] や Panin と Smirnov の K-theory archive の preprint [PS] などを見るとよい。

• algebraically oriented cohomology theory

関連して, Calmés, Petrov, Zainoulline [CPZ13] がAbel群と formal group law に対して, 群環の類似として formal group ring という algebra を定義している。

似たような名前で forma ring というものもある。これは, formal group law に積を追加したもので, Carrasco と Tempesta の [CT] で導入された。

Motivic homotopy theory の視点からの formal group law としては, Coulette ら [Cou+24] の \(n\)-valued \(d\)-ary formal group というものもある。

• \(n\)-valued \(d\)-ary formal group

これは, Buchstaber により [Buh75] で導入された two-valued formal group の一般化になっているもののようである。

代数的な視点からの formal group law の一般化も色々考えられている。例えば, operad を用いたもの [Fre98] など。 その元になったのは, Lazard の analyzer [Laz55; Laz74] である。

• operad 上の formal group

その一般化として, Holtkamp [Hol01] が, pseudo-analyzer という概念を導入し, その上の formal group law について調べている。

References

[BL07]

Victor Buchstaber and Andrey Lazarev. “Dieudonné modules and \(p\)-divisible groups associated with Morava \(K\)-theory of Eilenberg-Mac Lane spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 529–564. arXiv: math/0507036. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.529.

[Buh75]

V. M. Buhštaber. “Two-valued formal groups. Algebraic theory and applications to cobordism. I”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 39.5 (1975), pp. 1044–1064, 1219.

[Cou+24]

David Coulette, Frédéric Déglise, Jean Fasel, and Jens Hornbostel. “Formal ternary laws and Buchstaber’s 2-groups”. In: Manuscripta Math. 174.1-2 (2024), pp. 453–490. arXiv: 2112.03646. url: https://doi.org/10.1007/s00229-023-01512-4.

[CPZ13]

Baptiste Calmès, Viktor Petrov, and Kirill Zainoulline. “Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 46.3 (2013), 405–448 (2013). arXiv: 0905.1341. url: https://doi.org/10.24033/asens.2192.

[CT]

José Carrasco and Piergiulio Tempesta. Formal Rings. arXiv: 1902.03665.

[Fre98]

Benoit Fresse. “Lie theory of formal groups over an operad”. In: J. Algebra 202.2 (1998), pp. 455–511. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1997.7280.

[GKV]

Victor Ginzburg, Mikhail Kapranov, and Eric Vasserot. Elliptic Algebras and Equivariant Elliptic Cohomology. arXiv: q-alg/9505012.

[Haz09]

Michiel Hazewinkel. “Niceness theorems”. In: Differential equations: geometry, symmetries and integrability. Vol. 5. Abel Symp. Springer, Berlin, 2009, pp. 107–150. arXiv: 0810.5691. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-00873-3_5.

[Haz78]

Michiel Hazewinkel. Formal groups and applications. Vol. 78. Pure and Applied Mathematics. New York: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, xxii 573pp. isbn: 0-12-335150-2.

[Hol01]

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[Laz55]

Michel Lazard. “Lois de groupes et analyseurs”. In: Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 72 (1955), pp. 299–400. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1955_3_72_4_299_0.

[Laz74]

Michel Lazard. “Analyseurs”. In: Boll. Un. Mat. Ital. (4) 9.suppl. fasc. 2 (1974). Conferenze tenuti in occasione del cinquantenario dell’Unione Matematica Italiana (1972), pp. 49–59.

[Len98]

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[LM07]

M. Levine and F. Morel. Algebraic cobordism. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer, 2007, pp. xii+244. isbn: 978-3-540-36822-9; 3-540-36822-1.

[Nau]

Niko Naumann. Comodule categories and the geometry of the stack of formal groups. arXiv: math/0503308.

[PS]

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[Qui69]

Daniel Quillen. “On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 1293–1298. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12401-8.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Rez98]

Charles Rezk. “Notes on the Hopkins-Miller theorem”. In: Homotopy theory via algebraic geometry and group representations (Evanston, IL, 1997). Vol. 220. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 313–366. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/220/03107.

[RW80]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Morava \(K\)-theories of Eilenberg-Mac Lane spaces and the Conner-Floyd conjecture”. In: Amer. J. Math. 102.4 (1980), pp. 691–748. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374093.

[Str]

Neil Strickland. Formal groups. url: https://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/formalgroups/fg.pdf.

[Tay16]

Jair Patrick Taylor. “Formal group laws and hypergraph colorings”. PhD thesis. University of Washington, 2016. url: https://digital.lib.washington.edu/researchworks/handle/1773/36757.

[Wal]

Barry John Walker. Orientations and p-Adic Analysis. arXiv: 0905.0022.