Model categories and Enrichment

位相空間やCW複体のホモトピー論では, 連続写像の成す空間をよく使う。 ホモトピーファイバーや, より一般のホモトピー極限など, 重要な構成に必要だからである。

一般のmodel category で同様のことをしようと思うと, 2つの object の間の morphism の集合が, ある種の幾何学的対象になっている必要がある。つまり, monoidal category になっているある幾何学的対象の圏により enrich された場合を考える必要がある。 当然, その enrich している圏も model category になっていることが期待される。

• monoidal model category

自分自身で enrich されたもの, つまり closed monoidal category になっているものが基本的である。

より一般に, monoidal model category \(\bm {C}\) に対し, \(\bm {C}\) で enrich された model category を考えることができる。Lewis と Mandell の [LM07] で enriched model category として定義されている。

• enriched model category

文献としては, Lewis と Mandell のもの以外に, Guillou と May の [GM20] もある。Schwede と Shipley の [SS03] もよい。

よく使われるのは, simplicial set の圏で enrich された simplicial model category [Hir03] である。

• simplicial model category

Lurie の本 [Lur09] の Appendix 3 では simplicial model category を想定しつつ, より一般の monoidal model category による enrichment についても書いてある。ただし, その目的から enrichしている monoidal model category に excellent という条件を付けている。Guillou と May が書いているように, 全ての monomorphism が cofibration になるという条件を付けているので, ほとんど simplicial な場合しか使えない。

• excellent model category

Lurie の excellent model category の定義では, 上記の monomorphism が cofibration になるということ以外に4つの条件がある。その最後の invertibility hypothesis が不要であることを, Lawson [Law17] が示している。

Simplicial set ではなく, 位相空間 (コンパクト生成空間) の圏を考えるときには, morphism の集合を位相空間と考えた topological category として扱う方が自然である。これについては Intermont と Johnson が [IJ02] の §8 で考えている。

• topological model category

位相空間 (正確には compactly generated weak Hausdorff space) の圏で enrich され, ある条件をみたす圏には, Strøm-type のモデル構造が存在することを, Cole が[Col06] で示している。 Schwänzl と Vogt の結果 [SV02] もある。

一般のモデル圏 \(\bm {C}\) でも, 2つの object \(X\) と \(Y\) の間の図式 \[ X \larrow {\varphi } U \longrightarrow V \rarrow {\psi } Y \] で \(\varphi \) も \(\psi \) も weak equivalence であるものを object とする圏 \(\bm {C}(X,Y)_{\Hom }\) を考え, その 分類空間として \(X\) から \(Y\) への mapping space のようなものが作れる。これは Dwyer と Kan により [DK80a; DK80b] で導入されたものである。しかしながら, [DK80b] には間違いがあり, それを訂正したのが, Dugger の [Dug] である。

Small category の category のような \(2\)-category の上の model structure を考える場合, 単に \(2\)-morphism を忘れて通常の category として考えるだけでは不十分だろう。\(2\)-category を category の category で enrich された category と考えた場合, enriched model category として考えるのは自然である。実際, Gambino [Gam08] や Lack [Lac10] が model \(2\)-category という概念を定義している。

• model \(2\)-category

Montaruli [Mon] は, enriched model category での homotopy tiny object という概念を導入し, その enriched model category が homotopy tiny object 上の presheaf の category と Quillen 同値になる条件を考えている。

• homotopy tiny object

References

[Col06]

Michael Cole. “Many homotopy categories are homotopy categories”. In: Topology Appl. 153.7 (2006), pp. 1084–1099. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2005.02.006.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Function complexes in homotopical algebra”. In: Topology 19.4 (1980), pp. 427–440. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90025-7.

[Dug]

Daniel Dugger. Classification spaces of maps in model categories. arXiv: math/0604537.

[Gam08]

Nicola Gambino. “Homotopy limits for 2-categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 145.1 (2008), pp. 43–63. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108001266.

[GM20]

Bertrand J. Guillou and J. Peter May. “Enriched model categories and presheaf categories”. In: New York J. Math. 26 (2020), pp. 37–91. arXiv: 1110.3567.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/099.

[IJ02]

Michele Intermont and Mark W. Johnson. “Model structures on the category of ex-spaces”. In: Topology Appl. 119.3 (2002), pp. 325–353. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00076-1.

[Lac10]

Stephen Lack. “A 2-categories companion”. In: Towards higher categories. Vol. 152. IMA Vol. Math. Appl. New York: Springer, 2010, pp. 105–191. arXiv: math/0702535. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-1524-5_4.

[Law17]

Tyler Lawson. “Localization of enriched categories and cubical sets”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 35, 1213–1221. arXiv: 1602.05313.

[LM07]

L. Gaunce Lewis Jr. and Michael A. Mandell. “Modules in monoidal model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.2 (2007), pp. 395–421. arXiv: math/0606275. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.002.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Mon]

Anna Giulia Montaruli. Describing model categories througth homotopy tiny objects. arXiv: 2204.00336.

[SS03]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “Equivalences of monoidal model categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), 287–334 (electronic). arXiv: math / 0209342. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.287.

[SV02]

R. Schwänzl and R. M. Vogt. “Strong cofibrations and fibrations in enriched categories”. In: Arch. Math. (Basel) 79.6 (2002), pp. 449–462. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00012472.