Entropy

Entropy は熱力学や統計力学おけるものが有名であるが, 他にも情報理論などで使われるものもある。

• Shannon entropy

Baudot と Bennequin の [BB15] では, homological approach が提案されているし, Bradley の [Bra21] では operad.htmloperad との関係が指摘されている。

生物多様性との関連で Leinster が [Lei21] を書いている。 第2章の最初に, entropy という言葉が登場する分野として, 次のものが挙げら れている。

• thermodynamics
• quantum physics
• communications engineering
• information theory
• statistical inference
• machine learning and AI
• malware detection
• macroecology
• quantification of biodiversity
• biochemistry
• water network engineering
• theory of algorithms and complexity
• climate science
• ergodic theory and dynamical systems
• algebraic dynamics
• combinatorial dynamics
• topological dynamics

最後の4つは, 力学系に関することである。 \(\Z \) 作用の場合, 自己写像 \(f : X\to X\) の不変量として定義されるのが普通のようである。 Adler らの [AKM65] で導入されたものだろうか。

• topological entropy

Gromov [Gro87] によると, entropy と topology, より正確には基本群, との関係を発見したのは, Dinaburg [Din71] のようである。 この Gromov の論文や [Gro03] は, \(\CP ^{n}\) の holomorphic endomorphism の topological entroy と homology に誘導さた写像の spectral radius の関係を調べたものであるが, Gromov によるとその元になったのは, Misiurewicz と Przytycki の [Mis77b; Mis77a], Manning の [Man75], そして Yomdin の [Yom87] などの仕事のようである。 Topological entropy と (co)homology に誘導された写像の spectral radius の対数が等しくなることは, Gromov-Yomdin の定理 (等式) と呼ばれているようである。

• Gromov-Yomdin theorem

Dimitrov と Haiden と Katzarkov と Kontsevich [Dim+14] は, ホモロジー代数的な文脈, より正確には triangulated category やその \(A_{\infty }\)-enhancement の endofunctor に対する entropy を定義し調べているが, そこには文献として Gromov らの仕事は挙げられていない。Gromov の名前は登場するが。

• categorical entropy

当然, categorical entropy と Gromov らの結果の関係が気になるところであるが, それについては Kukuta らの仕事 [Kik17; KT19; KO23] がある。 Fan の [Fan18] によると,一般には, Gromov-Yomdin の結果の類似は成り立たないようである。

References

[AKM65]

R. L. Adler, A. G. Konheim, and M. H. McAndrew. “Topological entropy”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114 (1965), pp. 309–319.

[BB15]

Pierre Baudot and Daniel Bennequin. “The homological nature of entropy”. In: Entropy 17.5 (2015), pp. 3253–3318. url: https://doi.org/10.3390/e17053253.

[Bra21]

Tai-Danae Bradley. “Entropy as a topological operad derivation”. In: Entropy 23.9 (2021), Paper No. 1195, 11. arXiv: 2107.09581. url: https://doi.org/10.3390/e23091195.

[Dim+14]

G. Dimitrov, F. Haiden, L. Katzarkov, and M. Kontsevich. “Dynamical systems and categories”. In: The influence of Solomon Lefschetz in geometry and topology. Vol. 621. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 133–170. arXiv: 1307. 8418. url: https://doi.org/10.1090/conm/621/12421.

[Din71]

E. I. Dinaburg. “A connection between various entropy characterizations of dynamical systems”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35 (1971), pp. 324–366.

[Fan18]

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[Gro03]

Mikhaı̈l Gromov. “On the entropy of holomorphic maps”. In: Enseign. Math. (2) 49.3-4 (2003), pp. 217–235.

[Gro87]

M. Gromov. “Entropy, homology and semialgebraic geometry”. In: 145-146. Séminaire Bourbaki, Vol. 1985/86. 1987, pp. 5, 225–240.

[Kik17]

Kohei Kikuta. “On entropy for autoequivalences of the derived category of curves”. In: Adv. Math. 308 (2017), pp. 699–712. arXiv: 1601.06682. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.12.027.

[KO23]

Kohei Kikuta and Genki Ouchi. “Hochschild entropy and categorical entropy”. In: Arnold Math. J. 9.2 (2023), pp. 223–244. arXiv: 2012. 13510. url: https://doi.org/10.1007/s40598-022-00210-5.

[KT19]

Kohei Kikuta and Atsushi Takahashi. “On the categorical entropy and the topological entropy”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 2 (2019), pp. 457–469. arXiv: 1602 . 03463. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnx131.

[Lei21]

Tom Leinster. Entropy and diversity—the axiomatic approach. Cambridge University Press, Cambridge, 2021, pp. xiv+442. isbn: 978-1-108-83270-0; 978-1-108-96557-6. arXiv: 2012.02113. url: https://doi.org/10.1017/9781108963558.

[Man75]

Anthony Manning. “Topological entropy and the first homology group”. In: Dynamical systems—Warwick 1974 (Proc. Sympos. Appl. Topology and Dynamical Systems, Univ. Warwick, Coventry, 1973/1974; presented to E. C. Zeeman on his fiftieth birthday). Lecture Notes in Math., Vol. 468. Springer, Berlin-New York, 1975, pp. 185–190.

[Mis77a]

Feliks Misiurewicz Michałand Przytycki. “Entropy conjecture for tori”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25.6 (1977), pp. 575–578.

[Mis77b]

Feliks Misiurewicz Michałand Przytycki. “Topological entropy and degree of smooth mappings”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25.6 (1977), pp. 573–574.

[Yom87]

Y. Yomdin. “Volume growth and entropy”. In: Israel J. Math. 57.3 (1987), pp. 285–300. url: https://doi.org/10.1007/BF02766215.