Algebraic K-Theory

コンパクト Hausdorff 空間 \(X\) のtopological \(K\)-theory \(K(X)=K_0(X)\) は, Bott periodicity により次数付きAbel群となる。 そして, 一般コホモロジー論に拡張できる。

\(K(X)\) が, 連続関数の成す環 \(C(X)\) 上の finitely generate projective module が直和に関して成す monoid から group completion によって作られることから, より一般の環 \(R\) に対し次数付きAbel群 \(K_n(R)\) で \[ K_0(C(X)) = K(X) \] となるものを作ろうというのは自然なアイデアである。というより, 元々 \(K_0\) (Grothendieck group) は, 代数幾何学の文脈で Grothendieck が導入したものだった。アフィン scheme と可換環の対応を考えると, 一般の環の \(K\)-theory を考えるのは自然である。

しかしながら この MathOverflow の質問への Goodwillie と Porter による回答にあるように, 歴史的には \(K_1\) の方が古くから考えられていた。J.H.C. Whitehead の [Whi49a; Whi49b] である。これは surgery theory と関係が深い。

このように, 小さな \(n\) に対しては, ad hoc な方法により60年代までに構成されている。 この時代までのことについては, Bass の本 [Bas68] にまとめられている。その後, 全ての \(n\) に対し通用する定義を発見したのは, Quillen [Qui73] である。 最近では, Waldhausen の方法や, その一般化を用いるのが主流である。

• 古典的な algebraic \(K\)-theory
• Quillen の algebraic \(K\)-theory
• Waldhausen category の \(K\)-theory

重要なのは, もちろん環の algebraic \(K\)-theory である。また, symmetric monoidal category になっている spectrum の圏が構成されて以降, ring spectrum の algebraic \(K\)-theory も自由に扱えるようになった。

• 環や ring spectrum の algebraic \(K\)-theory

Algebraic \(K\)-theory については, いくつか本も出版されている。 Srinivas の [Sri96] など。Weibel も [Wei13] を出している。 ここから chapter ごとに download できる。 Errata もある。 Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] の Introduction では, Whitehead torsion, \(K_1\), Grothendieckの \(K_0\), Milnor の \(K_2\) という順番で動機が説明してある。

Algebraic \(K\)-theory がどのような情報を取り出すのか, というのは興味深い問題である。例えば, Dugger と Shipley は, derived category が triangulated category として同値になる環については, algebraic \(K\)-theory が同型になることを [DS04] で示している。一方, Schlichting [Sch02] は, derived category が同値であるが, Waldhausen \(K\)-theory が異なる2つの model category を構成している。

この Dundas, Goodwillie, McCarthy の本のように, algebraic \(K\)-theory の構成としては, 現在では, Waldhausen による構成が主流である。

Raptis と Steimle [RS19] には, higher algebraic \(K\)-theory の構成として, Quillen の \(Q\)-construction や Waldhausen の \(S\)-construction の他にも, Thomason の \(\mathcal {T}\)-construction, Gillet-Grayson の \(G\)-construction, Quillen の \(S^{-1}S\)-construction が挙げられている。 Raptis と Steimle 自身も新しい構成を提案している。

位相空間の \(K\)-theory で成り立つことが, algebraic \(K\)-theory でどの程度成り立つかというのは, 誰でも思うことだろう。例えば, Adams operation は構成できる。

• Adams operations on algebraic \(K\)-theory

他にも motivic homotopy theory の文脈では, 様々な類似が得られている。

その後, algebraic \(K\)-theory は様々な方向に拡張されている。 定理も様々な version がある。歴史的なことも含めて, 詳しくは Barwick の [Bar15] の Introduction を見るとよい。

• algebraic \(K\)-theory の一般化や変種
• algebraic \(K\)-theory に関連した事柄

References

[Bar15]

Clark Barwick. “On exact \(\infty \)-categories and the theorem of the heart”. In: Compos. Math. 151.11 (2015), pp. 2160–2186. arXiv: 1212.5232. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007447.

[Bas68]

Hyman Bass. Algebraic \(K\)-theory. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968, pp. xx+762.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DS04]

Daniel Dugger and Brooke Shipley. “\(K\)-theory and derived equivalences”. In: Duke Math. J. 124.3 (2004), pp. 587–617. arXiv: math/0209084. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12435-2.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[RS19]

George Raptis and Wolfgang Steimle. “A cobordism model for Waldhausen \(K\)-theory”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 99.2 (2019), pp. 516–534. arXiv: 1711.08779. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12182.

[Sch02]

Marco Schlichting. “A note on \(K\)-theory and triangulated categories”. In: Invent. Math. 150.1 (2002), pp. 111–116. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-002-0231-1.

[Sri96]

V. Srinivas. Algebraic \(K\)-theory. Second. Vol. 90. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996, pp. xviii+341. isbn: 0-8176-3702-8. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4739-1.

[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.

[Whi49a]

J. H. C. Whitehead. “Combinatorial homotopy. I”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), pp. 213–245. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1949-09175-9.

[Whi49b]

J. H. C. Whitehead. “Combinatorial homotopy. II”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), pp. 453–496. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1949-09213-3.