Topology of Random Objects

Meshulam と Wallach は, [MW09]で, \(n\)次元 単体の\(k\)次元 skeleton に各\(k-1\)次元単体を 確率 \(p\) で 貼付けた時の ホモロジーについて調べている。 元々は, random graph, つまり頂点集合を用意しておいて適当な確率で辺を貼付けたときに, グラフの性質がどうなるかを調べる問題があったようである。 それを2次元に拡張したのが Meshulam と Linial の [LM06] である。 Meshulam らの考えたものは, Kozlov の [Koz10] では random simplicial complex と呼ばれている。

• random graph
• random simplicial complex や random cell complex

Roddenberry と Segarra [RS] は, このような random object のトポロジーを調べることを stochastic topology と呼んでいる。

Deibel [Dei20] は, random right-angled Coxeter group を拡張し, random Coxeter group を定義している。

• random Coxeter group

この Math Overflow の質問とその回答にあるように, random manifold も考えられている。

Pippenger と Schleich [PS06] は 曲面を考えているが, その motivation は, 物理にあるようである。Chas と Lalley [CL12] は, \(2\)次元多様体上の random に選んだ閉曲線の self-intersection number について調べている。

Dunfield ら [DT06a; DT06b; DW11] は \(3\)次元多様体を考えている。

低次元トポロジーに関するものでは, random knot や random link がある。Even-Zohar と Hass と Linial [Eve+16] によると, 数学者だけでなく, 物理学者や生物学者によっても, 様々なモデルが考えられているらしい。 知られているモデルについては, Even-Zohar の [Eve17] にまとめられている。

• random knots and links

Gayet と Welshinger [GW14] は, random real hypersurface を考えている。

Benedetti と Lutz [BL14] は random discrete Morse theory という discrete Morse theory の変種を導入している。彼等と Adiprasito は [ABL17] で random discrete Morse theory を用いて, 5次元の simplicial manifold で, collapsible であるが5次元球体と同相ではないものを発見することに成功している。

• random discrete Morse theory

Benedetti らは [Ben+24] で simple homotopy type を調べるための Random Simple-Homotopy というアルゴリズムを実装している。

• random simple homotopy theory

Ginzburg と Pasechnik [GP17] は, random chain complexes というタイトルの論文を書いているが, そこでは random model を構成するのではなく, 全ての ungraded chain complex, つまり \(d : V\to V\) で \(d^2=0\) となる線形写像 \(d\) が考えられている。\(V\) が有限体上の有限次元ベクトル空間なので, そのようなものは有限個しかない。その総数と \(\Ker d/\Ima d\) がある次元 \(r\) になるものの数の比を, homology の次元が \(r\) になる確率とみなし, それを調べている。動機は Hamiltonian Floer theory だそうである。

• random chain complex

確率論との関連とは言えないかもしれないが, Farber と Kappeler の試み [FK08] も面白い。ある種の configuration space でパラメーターを動かしたときの Betti 数の挙動について, 漸近的な公式を得ている。

Random topology とは言えないが topology と関連の深い random object として, Gromov の導入した random group がある。群の presentation を random に選ぶ方法を決めるわけであるが, random graph や random simplicial complex に 様々な model があったように, random group の model にも様々なものがある。Ollivier の解説 [Oll05] によると主なものは三つあるらしい。

• random group

References

[ABL17]

Karim A. Adiprasito, Bruno Benedetti, and Frank H. Lutz. “Extremal examples of collapsible complexes and random discrete Morse theory”. In: Discrete Comput. Geom. 57.4 (2017), pp. 824–853. arXiv: 1404.4239. url: https://doi.org/10.1007/s00454-017-9860-4.

[Ben+24]

Bruno Benedetti, Crystal Lai, Davide Lofano, and Frank H. Lutz. “Random simple-homotopy theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 8.3 (2024), pp. 531–555. arXiv: 2107.09862. url: https://doi.org/10.1007/s41468-023-00139-4.

[BL14]

Bruno Benedetti and Frank H. Lutz. “Random discrete Morse theory and a new library of triangulations”. In: Exp. Math. 23.1 (2014), pp. 66–94. arXiv: 1303.6422. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2013.865281.

[CL12]

Moira Chas and Steven P. Lalley. “Self-intersections in combinatorial topology: statistical structure”. In: Invent. Math. 188.2 (2012), pp. 429–463. arXiv: 1012.0580. url: https://doi.org/10.1007/s00222-011-0350-7.

[Dei20]

Angelica Deibel. “Random Coxeter groups”. In: Internat. J. Algebra Comput. 30.6 (2020), pp. 1305–1321. arXiv: 1711.04856. url: https://doi.org/10.1142/S0218196720500423.

[DT06a]

Nathan M. Dunfield and Dylan P. Thurston. “A random tunnel number one 3-manifold does not fiber over the circle”. In: Geom. Topol. 10 (2006), pp. 2431–2499. arXiv: math/0510129. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2006.10.2431.

[DT06b]

Nathan M. Dunfield and William P. Thurston. “Finite covers of random 3-manifolds”. In: Invent. Math. 166.3 (2006), pp. 457–521. arXiv: math/0502567. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-006-0001-6.

[DW11]

Nathan M. Dunfield and Helen Wong. “Quantum invariants of random 3-manifolds”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.4 (2011), pp. 2191–2205. arXiv: 1009.1653. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.2191.

[Eve+16]

Chaim Even-Zohar, Joel Hass, Nati Linial, and Tahl Nowik. “Invariants of random knots and links”. In: Discrete Comput. Geom. 56.2 (2016), pp. 274–314. arXiv: 1411.3308. url: https://doi.org/10.1007/s00454-016-9798-y.

[Eve17]

Chaim Even-Zohar. “Models of random knots”. In: J. Appl. Comput. Topol. 1.2 (2017), pp. 263–296. arXiv: 1711.10470. url: https://doi.org/10.1007/s41468-017-0007-8.

[FK08]

Michael Farber and Thomas Kappeler. “Betti numbers of random manifolds”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 205–222. arXiv: math/0703929.

[GP17]

Viktor L. Ginzburg and Dmitrii V. Pasechnik. “Random chain complexes”. In: Arnold Math. J. 3.2 (2017), pp. 197–204. arXiv: 1602.08538. url: https://doi.org/10.1007/s40598-016-0062-6.

[GW14]

Damien Gayet and Jean-Yves Welschinger. “What is the total Betti number of a random real hypersurface?” In: J. Reine Angew. Math. 689 (2014), pp. 137–168. arXiv: 1107.2288. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0062.

[Koz10]

Dmitry N. Kozlov. “The threshold function for vanishing of the top homology group of random \(d\)-complexes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 138.12 (2010), pp. 4517–4527. arXiv: 0904.1652. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2010-10596-8.

[LM06]

Nathan Linial and Roy Meshulam. “Homological connectivity of random 2-complexes”. In: Combinatorica 26.4 (2006), pp. 475–487. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00493-006-0027-9.

[MW09]

R. Meshulam and N. Wallach. “Homological connectivity of random \(k\)-dimensional complexes”. In: Random Structures Algorithms 34.3 (2009), pp. 408–417. arXiv: math/0609773. url: http://dx.doi.org/10.1002/rsa.20238.

[Oll05]

Yann Ollivier. A January 2005 invitation to random groups. Vol. 10. Ensaios Matemáticos [Mathematical Surveys]. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005, pp. ii+100. isbn: 85-85818-30-1.

[PS06]

Nicholas Pippenger and Kristin Schleich. “Topological characteristics of random triangulated surfaces”. In: Random Structures Algorithms 28.3 (2006), pp. 247–288. arXiv: gr-qc/0306049. url: https://doi.org/10.1002/rsa.20080.

[RS]

T. Mitchell Roddenberry and Santiago Segarra. Limits of Dense Simplicial Complexes. arXiv: 2207.07980.