多様体の単体分割

斉藤の [斉藤利96] やDieudonnéの [Die09] によると, 単体的複体は, “Analysis Situs” におけるPoincaréの曖昧なホモロジーの定義を, 厳密なものにするために導入されたものである。よって, 単体的複体を用いるときには以下のことを考えなければならない。

• 単体的複体は必要な空間を全て含んでいるか?
• 位相空間 (多様体) \(X\) が単体分割を持つとき, それは一意的か?

1935年に, S.S. Cairns [Cai35] は, 全ての可微分多様体は単体分割可能であることを示した。 可微分構造を仮定しないときには, 1924年に T. Radó [Rad24] が\(2\)次元多様体の場合を, そして1952年に E. Moise [Moi52] が, \(3\)次元多様体の場合を証明した。 このように位相多様体は可微分多様体よりも調べるのが難しい。 1969年には R.C. Kirby とL.C. Siebenmann [KS69] が\(5\)次元以上の位相多様体が PL構造を持つための必要十分条件を求めた。

ここで, 気をつけなければならないのは, 単なる単体分割された多様体と, PL多様体の違いである。 MathOverflow のこの質問とそれに対する回答を見るとよい。

\(4\)次元の場合については, 1982年に M.H. Freedman [Fre82] が単体分割不可能な \(4\)次元位相多様体の例を発見している。

Galewski と Stern [GS76; GS80] は, \(5\)次元以上の位相多様体が単体分割可能であるための obstruction を定義している。また, 彼等は, ある条件をみたす homology \(3\)-sphere の存在が \(5\)次元以上の位相多様体が単体分割可能である必要十分条件であることを, 示している。 同様の結果は, 独立に Matumoto [Mat78] によっても得られていたようである。

Manolescu [Man16] は, \(\mathrm {Pin}(2)\)-equivariant Seiberg-Witten Floer homologyを定義し, それを用いて Galewski-Stern homology \(3\)-sphere を構成し, 5次元以上の各次元で単体分割不可能な位相多様体の存在を示している。

単体分割可能性についての歴史について, より詳しくは, Datta の [Dat07] の §2 を見るとよい。Manolescu の [Man] も簡潔にまとまっていてよい。

多様体ではない, 特異点を持った \(\R \) または \(\bbC \) 上の代数多様体 やsemialgebraic set などについても単体分割可能性が調べられている。

単体分割可能な空間に対しては, その単体 (頂点) の個数をいくつまで減らせるかを考えることにより, ある種の不変量が得られる。 多様体の場合には, Lutz の survey [Lut] がある。 これは, どちらかというと組み合せ論の問題であるが。

• 多様体のminimal triangulation の問題

また, 各次元の面の数を数えてできる \(f\)-vector や \(h\)-vector の特徴付けも考えられている。 低次元多様体に対しては, Lutz らの [LSS] とそこに挙げられている文献を見るとよい。球面については, Stanley の [Sta91] と Masuda の [Mas05] で, 球面の直積については Murai [Mur] で特徴付けが得られている。それによると, 実射影空間の場合は, Masuda により調べられているらしい。

単体分割可能な空間に対しては, それらの空間の間の写像も “単体的” にできるかというのは, 重要な問題である。 それに肯定的に答えるのが単体近似定理である。

一方, 頂点の数を fix したときに, triangulation がどれぐらいあるかという問題も考えられている。Benedetti と Ziegler の [BZ11] では3次元球面のの場合が考えられているが, その Introduction にも書いてあるように, motivation は quantum gravity のようである。 Moskovich の blog post も見るとよい。

Nevo, Santos, Wilson の [NSW] によると, \(d\)次元球面の\(n\)頂点単体分割が, 高々 \(2^{O(n^{\lceil \frac {d}{2}\rceil }\log n)}\) 個であることは, Stanley [Sta75] の結果らしい。

二番目の問は次のように述べる方が正確である:

• \(X\) が二つの単体分割を持つとき共通の細分が存在するか?

この問題は, “Hauptvermutung” (基本問題) として知られていたものである。 反例を見付けたのは Milnor [Mil61] だった。上で述べた Kirby と Siebenmann の仕事から, \(5\)次元以上の位相多様体に対し Hauptvermutung が成り立つための十分条件が得られる。更に Freedman の結果と Donaldson の仕事を合わせれば Hauptvermutung は\(4\)次元位相多様体に対しては, 一般的には成り立たないことが分かる。

これら Hauptvermutung に関することについては, Poincaré の Analysis Situs の日本語訳 [斉藤利96] の最後にある松本幸夫氏による付録が詳しい。 また, Ranicki らによる本 [Ran+96] もある。

単体分割に関する研究は, もともとはホモロジーの定義に端を発するものであるが, ホモロジーの定義自体は単体分割を用いずに行なう方法 (特異ホモロジー) が発見され, 代数的トポロジーでは単体的複体はあまり重要なものではなくなった。 単体的複体より, CW 複体や simplicial set の圏で議論をするのが普通である。

単体的複体の類似として, cubical complex や permutahedral complex が考えられる。Cubical complex に対する単体近似定理の類似はまだ証明されていないと, Babson, Barcelo, de Longueville, Laubenbacher の [Bab+06] に書いてある。これが証明されると, 組み合せ論とホモトピー論の繋がりがさらに進歩するようである。

• 多様体などの胞体分割

少し条件を緩めるが cell complex よりはキチンとした構造として crystallization という分割がある。

• crystallization

Ed Swartz [Swa], Basak と Spreer [BSb] Casali と Cristofori と Gagliardi [CCG] などで考えられている。

多様体が群作用を持つときは, equivariant triangulation が考えられる。

• \(G\)-equivariant triangulation

有限群の場合の equivariant triangulation の存在については, Illman の [Ill78] がある。

Small cover や quasitoric manifold の場合は, Banchoff と Kühnel [BK92]の導入した equillibrium triangulation というものもある。Basak と Sarkar の [BSa] では 2次元のsmall cover の minimal equillibrium triangulation が調べられている。

単体分割されている場合には, 可微分多様体の構造を, 組み合せ論的な方法で記述することも考えられている。 例えば, [Bud] では Spin structure と \(\mathrm {Spin}^c\) structure が考えられている。

References

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