多様体への群作用

Myers と Steenrod [MS39]は, Riemann 多様体の等長変換全体が, Lie群になることを証明した。よって, Riemann 多様体への群作用を考える際には, Lie 群の作用を考えるのが一般的である。

Albin と Melrose の [AM11] によると, compact Lie 群 \(G\) の smooth manifold \(M\) への作用が unique isotopy type を持つ, つまり isotopy subgroup が全て互いに conjugate ならば, \(M/G\) は多様体になることを示したのは, Borel らしい。Albin と Melrose は, manifold with corners を用いて, 一般の作用を unique isotopy type のものに resolve することを考えている。そのコホモロジーへの応用を考えているのが, [AM] である。

Compact Lie 群の作用を持つ smooth manifold が \(G\)-simplicial complex に分割できることを示したのは, Illman [Ill83] である。

群作用を持つ (可微分) 多様体のコホモロジーの性質については, Guillemin と Zara の [GZ99] の Part I に簡潔にまとめられている。 そこに挙げられている項目は以下のことである。

• equivariant de Rham理論
• Atiyah-Bott-Berline-Vergne localization theorem
• Jeffrey-Kirwan theorem
• Smith problem
• Goresky-Kottwizt-MacPherson theorem

Goresky と Kottwitz と MacPherson は, [GKM98] である条件をみたす torus の作用を持つ代数多様体に対し, グラフを定義し, equivariant cohomology がそのグラフから定義された cochain complex との cohomology と同型になることを示した。

Goresky-Kottwitz-MacPherson の論文の解説として, Tymoczko の [Tym05]がある。それによると, intersection homology [BM01] や \(K\)-theory [Ros03] でも類似のことが考えられるらしい。

Goresky-Kottwitz-MacPherson の結果の一般化が, Harada と Henriques と Holm [HHH05] により与えられている。Cohomology theory も generalized cohomology になっているし, 群も一般の位相群である。更に, 空間も stratified space である。

このように, 多様体への群の作用としてよく調べられているのが torus の作用である。代数幾何学では toric variety, トポロジーでは torus manifold が主要な研究対象である。

その四元数版として, Mare が [Mar08] で \(\mathrm {Sp}(1)\) のいくつかの直積の quaternioic flag manifold への作用について, Goresky-Kottwitz-MacPherson 型の equivariant cohomology ring の記述を得ている。

実数版としては, \(O(1)=\Z /2\Z \) の直積の作用を考えるべきだろう。Davis と Januszkiewicz [DJ91] は, small cover という概念を定義 している。

Rainer は, [Rai09] で, Lie 群 \(G\) の smooth manifold \(M\) への proper action による quotient \[ p : M \longrightarrow M/G \] が, fibration や quasifibration になるための条件を求めている。

\(G\)-invariant tubular neighborhood の存在について, 無限次元の場合も含めて考えているのは, Ramras の[Ram11]である。

References

[AM]

Pierre Albin and Richard Melrose. Delocalized equivariant cohomology and resolution. arXiv: 1012.5766.

[AM11]

Pierre Albin and Richard Melrose. “Resolution of smooth group actions”. In: Spectral theory and geometric analysis. Vol. 535. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011, pp. 1–26. arXiv: 1012. 5765. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/535/10532.

[BM01]

Tom Braden and Robert MacPherson. “From moment graphs to intersection cohomology”. In: Math. Ann. 321.3 (2001), pp. 533–551. arXiv: math/0008200. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080100232.

[DJ91]

Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. “Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions”. In: Duke Math. J. 62.2 (1991), pp. 417–451. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-91-06217-4.

[GKM98]

Mark Goresky, Robert Kottwitz, and Robert MacPherson. “Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem”. In: Invent. Math. 131.1 (1998), pp. 25–83. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050197.

[GZ99]

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[HHH05]

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[Ill83]

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[Mar08]

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[MS39]

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[Rai09]

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[Ram11]

Daniel A. Ramras. “Invariant tubular neighborhoods in infinite-dimensional Riemannian geometry, with applications to Yang-Mills theory”. In: Arch. Math. (Basel) 96.6 (2011), pp. 589–599. arXiv: 1006.0063. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00013-011-0239-0.

[Ros03]

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[Tym05]

Julianna S. Tymoczko. “An introduction to equivariant cohomology and homology, following Goresky, Kottwitz, and MacPherson”. In: Snowbird lectures in algebraic geometry. Vol. 388. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, pp. 169–188. arXiv: math/ 0503369. url: https://doi.org/10.1090/conm/388/07264.