Multicategory

圏 \(\bm {C}\) は, object の集まりと2つの object の間の morphism の集合 \(\bm {C}(a,b)\) で記述されるが, (古典的な) multicategory は object の列 \((a_1,\ldots , a_n)\) と object \(b\) に対し集合 \(\bm {C}(a_1,\ldots ,a_n;b)\) が定まり, “合成”が定義されているものである。

最初にどれを見るのがよいのか分からないが, 例えば Leinster の本 [Lei04] の第2章は operad と multicategory について書かれている。

Object が1つの場合, 集合の列 \(\{C_{n}\}_{n\ge 0}\) に“合成”を定義することと同じであり, (対称群の作用を持たない) operad の定義と一致する。 よって, operad の一般化にもなっている。 また small category は, \(n\ge 2\) に対し \(\bm {C}(a_1,\ldots ,a_n;b)=\emptyset \) である multicategory とみなすことができる。

• multicategory は operad と small category の共通の一般化である

Monoid の many-objectification が small category であるように, operad の many-objectification が multicategory であると考えてよい。

一方で, Nikolaus の [Nik14] の最初に書いてあるように, monoidal category は multicategory とみなすことができる。\(\bm {V}\) が monoidal category のときに, \(\bm {V}(a_1\otimes \cdots \otimes a_n,b)\) を考えればよい。 Zakharevich が [Zak18] の§1 に書いているように, tensor product (monoidal structure) が無いときにも tensor product があるかのように議論できる枠組みと思ってもよい。

• multicategory は monoidal category の一般化である。

Operad や monoidal category は, 対称群の作用を持つものをよく用いるが, 同様に対称群の作用で入力側の object の列を入れ替えられるものも重要である。 そのようなものを symmetric multicategory という。

• symmetric multicategory
• symmetric multicategory は, symmetric monoidal category の一般化

この視点から, (symmetric) monoidal category に対する構成の (symmetric) multicategory への拡張を考えることができる。Nikolaus は, 無限ループ空間の構成を拡張している。 より広く, multicateogy の \((\infty ,1)\)版, つまり \(\infty \)-operad へ, であるが。

Multicategory と同等の概念は, 何度も再発見されている。 Lambek により [Lam69] で導入されたのが最初だろう。 Berger と Moerdijk [BM07] は, colored operad という言葉を使っているが, それは operad の many-objectification ととらえているからである。更に, Beilinson と Drinfeld は [BD04]で pseudotensor category という言葉を使っている。これは, monoidal category の一般化とみなす, という視点に基づいた名前だろう。

通常の small category に関する概念の small multicategory への一般化も, 当然考えられている。例えば, fibered category の multicategory への一般化は, Hermida の [Her04] や Hörmann の [Hör17] の Appendix A.2 や Pisani の [Pis] で考えられている。

• fibered multicategory

ホモトピー論における応用としては, Elmendorf と Mandell の [EM06] で, permutative category の \(K\)-theory として現われる spectrum の構造を調べるのに使われている。

Zakharevich [Zak18]は, Waldhausen category 全体が closed symmetric multicategory の構造を持つことを示している。

新しい代数的構造を記述するのにも使える。\(k\)-linear multicategory での associative algebra object や Lie algebra object を定義することができる。 それらについては, Bakalov と D’Andrea と Kac が [BDK01] で調べている。 彼らは, Beilinson と Drinfel\('\)d に従っているので, pseudotensor category という名前を使っている。よって, これらの algebra にも “pseudo-” という接頭辞が付いている。他に有名なものとしては, planar algebra がある。

• pseudoalgebra
• Lie pseudoalgeba
• planar algebra

Motivic homotopy theory における代数的構造を記述するのに使おうというのが, Gutiérrez らの [Gut+12] である。

\(A_{\infty }\)-category 全体を, category あるいは \(2\)-category としてみるのではなく, multicategory として考えることもできるようである。Bespalov らの [BLM08] はその視点から書かれている。 Manzyuk の [Man12] では, そこで現れた構造を一般化し, closed category の類似である closed multicategory の概念が定義されている。

• closed multicategory

Small category に対しては, その nerve を取って simplicial set を作ることができる。そこで, multicategory (colored operad) に対して nerve の構成の拡張を考えているのが Moerdijk と Weiss の [MW07] である。 彼らは, dendroidal set という概念を導入し, multicategory の nerve を dendroidal set として定義している。

• dendroidal set

Cisinski と Moerdijk [CT12] は, simplicial set を dendroidal set に変えることにより, \((\infty ,1)\)-category の multicategory 版を考えている。その解説として Weiss の [Wei11] がある。

• \(\infty \)-operad

Getzler は, [Get09] で colored operad を更に一般化する pattern という概念を定義している。

Multicategory の拡張として polycategory というものもある。M. Szabo が [Sza75] で導入した。

• polycategory

Koslowski の [Kos05] や Garner の [Gar08] を見るとよい。

様々な一般化について, Cruttwell と Shulman が [CS10] で統一的に扱う試みを行なっている。 そこでは, algebraic theory や 位相空間などが generalized multicategory の例として挙げられている。

• generalized multicategory

References

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