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球面の非安定ホモトピー群を調べる基本的な道具は, 次の2つである。
Toda bracket は, 安定ホモトピー群でも重要であるが。
知っておくべき一般的事実としては, 以下のことが挙げられるだろう。
- Torsion free partは, 奇数次元球面については \[ \pi _{2n+1+k}(S^{2n+1})\otimes \Q \cong \begin {cases} \Q & k=0 \\ 0 & k \neq 0 \end {cases} \] で, そして偶数次元球面については \[ \Omega S^{2n}_{[\frac {1}{2}]} \simeq S^{2n-1}_{[\frac {1}{2}]}\times \Omega S^{4n-1}_{[\frac {1}{2}]} \] で与えられる。
- Hopf invariant one の元は, Hopf map \(\eta \in \pi _3(S^2)\), \(\nu \in \pi _7(S^4)\), \(\sigma \in \pi _{15}(S^8)\) しかない。
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Cohen-Moore-Neisendorfer の exponent theorem, つまり奇素数 \(p\)に 対し \[ p^n\{\text {$p$-torsion part of }\pi _*(S^{2n+1}\langle 2n+1\rangle )\} = 0 \]
最初の事実は, Serre [Ser53] によるものである。 Serre は, \(\mathcal {C}\)-theory という理論と Serre spectral sequence
を用いたが, それらを用いない証明が Klaus と Kreck の [KK04] にある。
Hopf invariant を勉強するときには, EHP sequence の一部として理解すべきである。
球面のホモトピー群を全て決定するのは不可能だろう, ということからか大域的構造を調べることも50年代から行なわれている。
James の [Jam57], Toda の [Tod56], そして上記の Cohen と Moore と Neisendorfer
の仕事である。
Exponet とは別の大域的構造として, 球面のホモトピー群がどの次数で\(0\)にな らないか, という問題も考えられる。Ivanov,
Mikhailov, Wu の [IMW16] によると, 以下のことが知られている。
- \(n\ge 4\) に対し \(\pi _n(S^4)\neq 0\) (Curtis [Cur69])
- \(n\ge 5\) に対し \(\pi _n(S^5)\neq 0\) (Mahowald [Mah75; Mah82] と Mori [Mor75])
- \(n\ge 2\) に対し \(\pi _n(S^2)\neq 0\), よって \(n\ge 3\) に対し \(\pi _n(S^3)\neq 0\) (Ivanov, Mikhailov, Wu [IMW16])
すると, 残りは \(n\ge 6\) の \(S^n\) のホモトピー群であるが, 安定ホモトピー群の結果から, それらは \(0\) になる次数があることが分かる。
具体的な球面のホモトピー群の計算方法としては, 次のようなものが有名である。
安定ホモトピー群の計算では, Adams 型の spectral sequence がよく使われるが, unstable 版もある。
具体的な生成元について, それを表わす写像などを見つけるという問題もある。
連続写像だと選択肢が多すぎるから, 多項式で表わされる写像でどれぐらいの元が表わされるか考えようというアイデアもある。 Baum の
[Bau67], Wood の [Woo68; Woo93], そして Turiel の [Tur] など。
生成元と関係式による表示としては, Wuの [Wu01]や, Berrick, Cohen, Wong, Wu の [Ber+06] がある。\(S^2\)
の場合のみであるが, 球面のホモトピー群全体を代数的に表すことができるというのは画期的なことである。 Wu のものについては, Ellis と
Mikhailov の [EM10]もある。
References
-
[Bau67]
-
Paul F. Baum. “Quadratic maps and stable homotopy groups of
spheres”. In: Illinois J. Math. 11 (1967), pp. 586–595.
-
[Ber+06]
-
A. J. Berrick,
F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and
homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326.
url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.
-
[Cur69]
-
Edward B. Curtis. “Some nonzero homotopy groups of spheres”.
In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 541–544. url:
https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12236-6.
-
[EM10]
-
Graham Ellis and Roman Mikhailov. “A colimit of classifying
spaces”. In: Adv. Math. 223.6 (2010), pp. 2097–2113. arXiv: 0804.
3581. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.003.
-
[IMW16]
-
Sergei O. Ivanov, Roman Mikhailov, and Jie Wu. “On nontriviality
of certain homotopy groups of spheres”. In: Homology Homotopy
Appl. 18.2 (2016), pp. 337–344. arXiv: 1506 . 00952. url:
https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n2.a18.
-
[Jam57]
-
I. M. James. “On the suspension sequence”. In: Ann. of Math. (2)
65 (1957), pp. 74–107. url: https://doi.org/10.2307/1969666.
-
[KK04]
-
Stephan Klaus and Matthias Kreck. “A quick proof of the rational
Hurewicz theorem
and a computation of the rational homotopy groups of spheres”. In:
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.3 (2004), pp. 617–623. url:
http://dx.doi.org/10.1017/S0305004103007114.
-
[Mah75]
-
Mark Mahowald. “Description homotopy of the elements in the image
of the \(J\)-homomorphism”. In: Manifolds—Tokyo 1973 (Proc. Internat.
Conf., Tokyo, 1973). 1975, pp. 255–263.
-
[Mah82]
-
Mark Mahowald. “The image of
\(J\) in the \(EHP\) sequence”. In: Ann. of Math. (2) 116.1 (1982), pp. 65–112.
url: http://dx.doi.org/10.2307/2007048.
-
[Mor75]
-
Masamitsu Mori. “Applications of secondary \(e\)-invariants to unstable
homotopy groups of spheres”. In: Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser.
A 29.1 (1975), pp. 59–87. url:
https://doi.org/10.2206/kyushumfs.29.59.
-
[Ser53]
-
Jean-Pierre Serre. “Groupes d’homotopie et classes de groupes
abéliens”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 258–294. url:
http://dx.doi.org/10.2307/1969789.
-
[Tod56]
-
Hirosi Toda. “On the double suspension \(E^2\)”. In: J. Inst. Polytech. Osaka
City Univ. Ser. A. 7 (1956), pp. 103–145.
-
[Tod62]
-
Hirosi Toda. Composition methods in homotopy groups of spheres.
Annals of Mathematics Studies, No. 49. Princeton, N.J.: Princeton
University Press, 1962, pp. v+193.
-
[Tur]
-
Francisco-Javier Turiel. Complex Polynomial Representation of \(\pi _{n+1}(S^{n})\) and
\(\pi _{n+2}(S^{n})\). arXiv: math/0702324.
-
[Woo68]
-
R. Wood. “Polynomial maps from spheres to spheres”. In: Invent.
Math. 5 (1968), pp. 163–168.
-
[Woo93]
-
R. M. W. Wood. “Polynomial
maps of affine quadrics”. In: Bull. London Math. Soc. 25.5 (1993),
pp. 491–497. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/25.5.491.
-
[Wu01]
-
J. Wu.
“Combinatorial descriptions of homotopy groups of certain spaces”.
In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 130.3 (2001), pp. 489–513.
url: http://dx.doi.org/10.1017/S030500410100487X.
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