String group やさらにその高次化

直交群 \(\mathrm {O}(n)\) と \(\mathrm {SO}(n)\) は次の完全列を成す: \[ 1 \rarrow {} \mathrm {SO}(n) \rarrow {} \mathrm {O}(n) \rarrow {\det } \{\pm 1\} \rarrow {} 1. \] 分類空間のレベルでは, fibration \[ B\mathrm {SO}(n) \longrightarrow B\mathrm {O}(n) \rarrow {w_1} K(\Z /2\Z ,1) \] となる。\(n\ge 3\) ならば, \(\pi _1(\mathrm {SO}(n)) \cong \Z /2\Z \) なので, \(\mathrm {SO}(n)\) の double cover を \(\mathrm {Spin}(n)\) と定義すると, 次の fibration を得る: \[ \mathrm {Spin}(n) \longrightarrow \mathrm {SO}(n) \rarrow {} K(\Z /2\Z ,1). \] 分類空間のレベルでは, 次の fibration となる: \[ B\mathrm {Spin}(n) \longrightarrow B\mathrm {SO}(n) \rarrow {w_2} K(\Z /2\Z ,2). \]

有限次元単連結単純Lie群 \(G\) の一般論として \(G\) は2連結であり, \(\pi _3(G)\cong \Z \) であることはよく知られている。よって, \[ [G,K(\Z ,3)]\cong H^3(G;\Z ) \cong \Hom (H_3(G;\Z ),\Z ) \cong \Hom (\pi _3(G),\Z ) \cong \Z \] である。その生成元の homotopy fiber を \(\widetilde {G}\) と表すと, fibration \[ \widetilde {G} \longrightarrow G \longrightarrow K(\Z ,3) \] を得る。この \(\widetilde {G}\) を \(G\) の string group と呼ぶようである。 特に, \(G=\Spin (n)\) のときは, \(\mathrm {String}(n)\) と書かれ, 単に string group と呼べば, これを指すようである。

名前は “string group” であるが, このようなホモトピー論的な構成では位相群として構成するのは難しい。 Hopf 空間の構造を持つことは, すぐに分かるが。

そこで, 様々な人が, \(\mathrm {String}(n)\) の構成を考えている。C.L. Douglas と Henriques と Hill の [DHH11] や Schommer-Pries の [Sch11] などに書いてあるが, まだまだ他にもありそうである。

• Brylinski と McLaughlin の [BM94]
• Stolz の [Sto96]
• Ando と Hopkins と Strickland の [AHS04]
• Stolz と Teichner の [ST04]
• Baez, Crans, Stevenson, Schreiber の [Bae+07]
• Jurco の [Jur11]
• Henriques の [Hen08]
• Schommer-Pries の Lie groupoid と bibundle の成す bicategory での \(2\)-group としての構成 [Sch11]
• Nikolaus, Sachse, Wockel の無限次元Lie群, そして Lie \(2\)-group としての構成 [NSW13]
• Waldorf の finite dimensional Lie \(2\)-group あるいは strict diffeological \(2\)-group としての構成 [Wal12]
• Murray, Roberts, Wockel の free loop space を用いた構成 [MRW17]
• Bunk の “smooth space” の \(\infty \)-category におけるモデル [Bun23]

この Oberwolfach のレポートも見るとよい。

Waldorf [Wal16]は, 多様体 \(M\) がstring structure を持つことと, その free loop space \(LM\) が spin structure を持つことが, 同値になるように free loop space の spin structure を定義している。

Satiと Schreiber と Stasheff の [SSS12] によると, string structure の次の段階, fivebrane structure を表わす \(\mathrm {Fivebrane}(n)\) は “smooth 6-group” として実現するのがよいらしい。

より高次の connective cover も考えられている。Sati の [Sat15] など。 それらも, 無限次元Lie群や 高次のLie 群として構成できるのだろうか。

References

[AHS04]

Matthew Ando, Michael J. Hopkins, and Neil P. Strickland. “The sigma orientation is an \(H_{\infty }\) map”. In: Amer. J. Math. 126.2 (2004), pp. 247–334. arXiv: math/0204053. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v126/126.2ando.pdf.

[Bae+07]

John C. Baez, Danny Stevenson, Alissa S. Crans, and Urs Schreiber. “From loop groups to 2-groups”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 101–135. arXiv: math / 0504123. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127333.

[BM94]

J.-L. Brylinski and D. A. McLaughlin. “The geometry of degree-four characteristic classes and of line bundles on loop spaces. I”. In: Duke Math. J. 75.3 (1994), pp. 603–638. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-94-07518-2.

[Bun23]

Severin Bunk. “Principal \(\infty \)-bundles and smooth string group models”. In: Math. Ann. 387.1-2 (2023), pp. 689–743. arXiv: 2008.12263. url: https://doi.org/10.1007/s00208-022-02462-0.

[DHH11]

Christopher L. Douglas, André G. Henriques, and Michael A. Hill. “Homological obstructions to string orientations”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 18 (2011), pp. 4074–4088. arXiv: 0810.2131. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnq237.

[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math / 0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[Jur11]

Branislav Jurčo. “Crossed module bundle gerbes; classification, string group and differential geometry”. In: Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8.5 (2011), pp. 1079–1095. arXiv: math/0510078. url: https://doi.org/10.1142/S0219887811005555.

[MRW17]

Michael Murray, David Michael Roberts, and Christoph Wockel. “Quasi-periodic paths and a string 2-group model from the free loop group”. In: J. Lie Theory 27.4 (2017), pp. 1151–1177. arXiv: 1702.01514.

[NSW13]

Thomas Nikolaus, Christoph Sachse, and Christoph Wockel. “A smooth model for the string group”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 16 (2013), pp. 3678–3721. arXiv: 1104 . 4288. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rns154.

[Sat15]

Hisham Sati. “Ninebrane structures”. In: Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 12.4 (2015), pp. 1550041, 24. arXiv: 1405.7686. url: https://doi.org/10.1142/S0219887815500413.

[Sch11]

Christopher J. Schommer-Pries. “Central extensions of smooth 2-groups and a finite-dimensional string 2-group”. In: Geom. Topol. 15.2 (2011), pp. 609–676. arXiv: 0911 . 2483. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2011.15.609.

[SSS12]

Hisham Sati, Urs Schreiber, and Jim Stasheff. “Twisted differential string and fivebrane structures”. In: Comm. Math. Phys. 315.1 (2012), pp. 169–213. arXiv: 0910 . 4001. url: https://doi.org/10.1007/s00220-012-1510-3.

[ST04]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “What is an elliptic object?” In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, pp. 247–343. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511526398.013.

[Sto96]

Stephan Stolz. “A conjecture concerning positive Ricci curvature and the Witten genus”. In: Math. Ann. 304.4 (1996), pp. 785–800. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01446319.

[Wal12]

Konrad Waldorf. “A construction of string 2-group models using a transgression-regression technique”. In: Analysis, geometry and quantum field theory. Vol. 584. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 99–115. arXiv: 1201.5052. url: https://doi.org/10.1090/conm/584/11588.

[Wal16]

Konrad Waldorf. “Spin structures on loop spaces that characterize string manifolds”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.2 (2016), pp. 675–709. arXiv: 1209.1731. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.675.