Groupoid

群を object が一つで morphism が全て isomorphism である small category とみなしたとき, その一般化には二通りのものが考えられる。 Monoid と groupoid である。Object を一つにしたまま, morphism に isomorphism 以外のものも許したのが monoid であり, morphism が全て isomorphism という条件を保持したまま object が一つという条件を外したのが groupoid である。

ただし, この MathOverflow の質問によると, 歴史的には category より groupoid の方が先に登場したようである。Brandt の [Bra27] である。

Groupoid は, よく次のような図式で表わされる: \[ \xymatrix { G_1\times _{G_0}G_1 \ar [r]^(.6){m} & G_1 \ar [r]^{i} & G_1 \ar @<1ex>[r]^{s} \ar @<-1ex>[r]_{t} & G_0 \ar [r]^{u} & G_1 } \] \(G_0\) が object の成す集合, \(G_1\) が morphism の成す集合である。また \(m\), \(i\), \(s\), \(t\), \(u\) は, それぞれ, 合成, 逆射, 定義域, 値域, 恒等射を対応させる写像である。

基本的なことが簡潔にまとまっているものとしては, Moerdijk の [Moe02] がある。Groupoidification に関する Baez らの [BHW] の最後にもまとめがある。

• groupoid の基本
• groupoid の例

Groupoid は, 従来 作用素環の理論などでよく使われてきたようである。 [Ren80] といった本がある。Connes の [Con79] でも主要な役割を果している。より新しい本なら, Paterson の [Pat99] がある。Measured groupoid や Lie groupoid などから von Neumann algebra や \(C^*\)-algebra を作る操作が functor としてできることについては, Landsman の [Lan] に書かれている。

• 作用素環と groupoid

表現論的には, Tannaka-Krein duality の一般化 [Ami07; Amia; Amib] なども考えられている。

Algebraic topology における groupoid の役割については, Ronald Brown の [Bro99] という解説がある。Groupoid 全般についての解説としてもお薦めである。他の survey としては, [Bro87; Wei96] などがある。 Higgins の本 [Hig71] は, groupoid に関する唯一の教科書と言ってもいい本であるが, Theory and Applications of Categories の reprint として download 可能である。

Brown らの目指していることは, Brown と Higgins と Sivera が書いた “Nonabelian algebraic topology” という本 [BHS11] を見ると分かる。

微分幾何学的との関係では, orbifold を groupoid とみなす, という考え方もある。

• トポロジーや幾何学における groupoid

Orbifold のホモトピー論を一般化する形で, topological groupoid のホモトピー論を構築することも考えられている。

• topological groupoid のホモトピー論

Simplicial groupoid のホモトピー論も Dwyer と Kan [DK84] により考えられているが, この仕事はあまり知られていないような気がする。

• simplicial groupoid

組み合せ論でも使われることがある。

• combinatorial groupoid

その他, quantum groupoid などの groupoid の概念の拡張や関連した話題については, 以下にまとめた。

• その他 groupoid に関連した概念

References

[Amia]

Massoud Amini. Tannaka-Krein duality for compact groupoids II, Fourier transform. arXiv: math/0308260.

[Amib]

Massoud Amini. Tannaka-Krein duality for compact groupoids III, duality theory. arXiv: math/0308261.

[Ami07]

Massoud Amini. “Tannaka-Krein duality for compact groupoids. I. Representation theory”. In: Adv. Math. 214.1 (2007), pp. 78–91. arXiv: math/0308259. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.015.

[BHS11]

Ronald Brown, Philip J. Higgins, and Rafael Sivera. Nonabelian algebraic topology. Vol. 15. EMS Tracts in Mathematics. Filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, With contributions by Christopher D. Wensley and Sergei V. Soloviev. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2011, pp. xxxvi+668. isbn: 978-3-03719-083-8. url: https://doi.org/10.4171/083.

[BHW]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher D. Walker. Groupoidification Made Easy. arXiv: 0812.4864.

[Bra27]

H. Brandt. “Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes”. In: Math. Ann. 96.1 (1927), pp. 360–366. url: https://doi.org/10.1007/BF01209171.

[Bro87]

Ronald Brown. “From groups to groupoids: a brief survey”. In: Bull. London Math. Soc. 19.2 (1987), pp. 113–134. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/19.2.113.

[Bro99]

Ronald Brown. “Groupoids and crossed objects in algebraic topology”. In: Homology Homotopy Appl. 1 (1999), 1–78 (electronic).

[Con79]

Alain Connes. “Sur la théorie non commutative de l’intégration”. In: Algèbres d’opérateurs (Sém., Les Plans-sur-Bex, 1978). Vol. 725. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 19–143.

[DK84]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Homotopy theory and simplicial groupoids”. In: Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 46.4 (1984), pp. 379–385.

[Hig71]

Philip J. Higgins. Notes on categories and groupoids. Van Nostrand Rienhold Mathematical Studies, No. 32. Van Nostrand Reinhold Co., London-New York-Melbourne, 1971, pp. v+178. url: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html.

[Lan]

N. P. Landsman. Functoriality and Morita equivalence of operator algebras and Poisson manifolds associated to groupoids. arXiv: math-ph/0008036.

[Moe02]

Ieke Moerdijk. “Orbifolds as groupoids: an introduction”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 205–222. arXiv: math/0203100.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Ren80]

Jean Renault. A groupoid approach to \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 793. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980, pp. ii+160. isbn: 3-540-09977-8.

[Wei96]

Alan Weinstein. “Groupoids: unifying internal and external symmetry. A tour through some examples”. In: Notices Amer. Math. Soc. 43.7 (1996), pp. 744–752.