Locally compact group を調べるときには, その上の Haar measure が重要な役割を果たしてきたが, groupoid
上の measure も古くから考えられているようである。一つの motivation としては, von Neumann algebra
などの作用素環の研究に使うことがあったようである。
この手の話題については, Renault の [Ren80] や Paterson の [Pat99], そして Anantharaman-Delaroche
と Renault の [AR00] などの本がある。
- measured groupoid
- measured groupoid の von Neumann algebra
- Lie groupoid の \(C^*\)-algebra
Landsman の [Lan] は, measured groupoid から von Neumann algebra を作ったり, Lie
groupoid から \(C^*\)-algebra を作る構成が functor としてできることを述べていて, 全体像を把握するのに助かる。
Sauer の [Sau05] には, discrete measured groupoid の von Neumann algebra,
そしてその性質が色々書いてある。目的は discrete measured groupoid の \(L^2\)-Betti 数を定義することであるが。
- discrete measured groupoid
Groupoidification を measure を持つ groupoid に拡張することを考えているのは, Censor と
Grandini の [CG] である。そのため, 彼等は Haar groupoid の category を考え, その category
の構造を調べ始めた。
References
-
[AR00]
-
C. Anantharaman-Delaroche and J. Renault. Amenable groupoids.
Vol. 36. Monographies
de L’Enseignement Mathématique [Monographs of L’Enseignement
Mathématique]. With a foreword by Georges Skandalis and Appendix
B by E. Germain. Geneva: L’Enseignement Mathématique, 2000,
p. 196. isbn: 2-940264-01-5.
-
[CG]
-
Aviv Censor and Daniele Grandini. Weak Pullbacks of Topological
Groupoids. arXiv: 1101.3219.
-
[Lan]
-
N. P. Landsman. Functoriality and Morita equivalence of operator
algebras and Poisson manifolds associated to groupoids. arXiv:
math-ph/0008036.
-
[Pat99]
-
Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their
operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser
Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7.
url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.
-
[Ren80]
-
Jean Renault. A groupoid approach to \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 793. Lecture
Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980, pp. ii+160. isbn:
3-540-09977-8.
-
[Sau05]
-
Roman Sauer. “\(L^2\)-Betti numbers of discrete measured groupoids”. In:
Internat. J.
Algebra Comput. 15.5-6 (2005), pp. 1169–1188. arXiv: math/0312411.
url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218196705002748.
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