代数群と group scheme

Scheme の圏における group object, すなわち monoid object で逆元に対応する morphism を持つものを group scheme という。 可換環の圏と affine scheme の圏の (contravariant) equivalence の下で, affine group scheme は可換環の圏の cogroup object に対応する。つまり積が可換な Hopf algebra である。

複素コボルディズムの理論で現われる Hopf algebroid という概念も groupoid scheme として考えた方が見通しがよくなる。これについては, Ravenel の本 [Rav03] の Appendix A1 を見るのがよい。

• group scheme
• groupoid scheme

Lie群を代数群, あるいは group scheme としてみなすと, 複素数や実数以外の可換環上で考えることができ, 様々な代数的 (代数幾何学的) 構成を行なうことができる。 例えば, Satake isomorphism という Hecke algebra と maximal torus の one parameter subgroup の成す lattice の group algebra の Weyl 群による invariants の間の対応がある。 この同型の categorification が Ginzburg [Gin] により証明されている。Kamnizter [Kam10] は geometric Satake correspondence と呼んでいる。

• geometric Satake correspondence

代数群や group scheme の cohomology は, 代数的トポロジーの視点からも重要である。

• 代数群や group scheme のコホモロジー

可換な代数群の代表は楕円曲線であるが, 代数的トポロジーでは, 楕円コホモロジーとの関係が基本的である。 それをより高次の Abelian variety に拡張しようというのは自然なアイデアで あり, 実際 Behrens と Lawson が [BL10] で考えている。

• 楕円曲線
• Abelian variety

複素向き付け可能な cohomology theory を考えるためには, \(1\)次元の formal group law しか必要ないため, 彼らは Abelian variety と \(1\)次元 formal group law とその他の情報を合わせたものの moduli space を考えている。

代数群や group scheme の理論を“super”化しようとしている人もいる。 Masuoka と Zubkov の [MZ11] によると, Brundan の [Bru06] や Zubkov の [Zub09; Zub11] などがある。

\(\F _{1}\) 上の代数群を目指したものとして, Lorscheid と Thas の [LT] がある。

References

[BL10]

Mark Behrens and Tyler Lawson. “Topological automorphic forms”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 204.958 (2010), pp. xxiv+141. arXiv: math / 0702719. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-09-00573-0.

[Bru06]

Jonathan Brundan. “Modular representations of the supergroup \(Q(n)\). II”. In: Pacific J. Math. 224.1 (2006), pp. 65–90. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2006.224.65.

[Gin]

Victor Ginzburg. Perverse sheaves on a Loop group and Langlands’ duality. arXiv: alg-geom/9511007.

[Kam10]

Joel Kamnitzer. “Mirković-Vilonen cycles and polytopes”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 245–294. arXiv: math/0501365. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.245.

[LT]

Oliver Lorscheid and Koen Thas. Towards the horizons of Tits’s vision – on band schemes, crowds and \(\F _1\)-structures. arXiv: 2305. 13809.

[MZ11]

Akira Masuoka and Alexandr N. Zubkov. “Quotient sheaves of algebraic supergroups are superschemes”. In: J. Algebra 348 (2011), pp. 135–170. arXiv: 1007 . 2236. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.08.038.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Zub09]

A. N. Zubkov. “Affine quotients of supergroups”. In: Transform. Groups 14.3 (2009), pp. 713–745. arXiv: 0804 . 3493. url: https://doi.org/10.1007/s00031-009-9055-z.

[Zub11]

A. N. Zubkov. “On quotients of affine superschemes over finite supergroups”. In: J. Algebra Appl. 10.3 (2011), pp. 391–408. arXiv: 0901.4687. url: https://doi.org/10.1142/S0219498811004604.