Geometric Satake Correspondence

Geometric Satake correspondece という対応がある。元になっているのは, Satake isomorphism という Hecke algebra と maximal torus の one-parameter subgroup の成す lattice の group algebra の Weyl 群による invariants の間の対応のようである。

Ginzburg [Gin] は, Satake isomorphism が \(G\) の Langlands dual の表現と, affine Grassmannian (loop Grassmannian) のある種の subvariety 上の perverse sheaf の圏の間の対応を decategorify して得られるものであることを示した。 つまり, Satake isomorphism の categorification である。

• affine Grassmannian

Ginzburg の対応の元になっているのは, Lusztig の [Lus81; Lus83] のようであるが。また philosophy としては, Grothendieck による, 「様々な代数的な公式を 有限体上で定義された代数多様体上の sheaf cohomology の上の Frobenius 作用素の trace の交代和で表わす」という program の流れのようである。Ginzburg によると, このようなことに intersection homology が有用であることに気づいたのは, Drinfel\('\)d [Dri83] と Lusztig [Lus81] が最初らしい。

Mirkovic と Vilonen [MV00; MV07] は, Ginzburg の対応に現われる intersection homology の基底となる algebraic cycle を発見した。それらの algebraic cycle は affine Grassmannian の中の projective variety であるが, その moment map による像として現われる凸多面体を調べたのが Jared Anderson の [And03] である。

• Mirković-Vilonen polytope (MV polytope)

Mirković-Vilonen polytope の組み合せ論的な特徴付けについては, Kamnizter の [Kam10]で得られている。 そのために, pseudo-Weyl polytope というものを導入している。

References

[And03]

Jared E. Anderson. “A polytope calculus for semisimple groups”. In: Duke Math. J. 116.3 (2003), pp. 567–588. arXiv: math/0110225. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11636-1.

[Dri83]

V. G. Drinfel\('\)d. “Two-dimensional \(l\)-adic representations of the fundamental group of a curve over a finite field and automorphic forms on \(\GL (2)\)”. In: Amer. J. Math. 105.1 (1983), pp. 85–114. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374382.

[Gin]

Victor Ginzburg. Perverse sheaves on a Loop group and Langlands’ duality. arXiv: alg-geom/9511007.

[Kam10]

Joel Kamnitzer. “Mirković-Vilonen cycles and polytopes”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 245–294. arXiv: math/0501365. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.245.

[Lus81]

G. Lusztig. “Green polynomials and singularities of unipotent classes”. In: Adv. in Math. 42.2 (1981), pp. 169–178. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(81)90038-4.

[Lus83]

George Lusztig. “Singularities, character formulas, and a \(q\)-analog of weight multiplicities”. In: Analysis and topology on singular spaces, II, III (Luminy, 1981). Vol. 101. Astérisque. Paris: Soc. Math. France, 1983, pp. 208–229.

[MV00]

Ivan Mirković and Kari Vilonen. “Perverse sheaves on affine Grassmannians and Langlands duality”. In: Math. Res. Lett. 7.1 (2000), pp. 13–24.

[MV07]

I. Mirković and K. Vilonen. “Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings”. In: Ann. of Math. (2) 166.1 (2007), pp. 95–143. arXiv: math/0401222. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.95.