K-theory

\(K\)-theory は様々な分野に様々な形で現われる。それほど自然な概念である。 物理でも, string theory の \(D\)-brane や物性物理の topological phase などで登場する。

例えば Atiyah の “\(K\)-theory Past and Present” [Ati01] を見るとよい。非常に簡潔にまとまった入門的な文章としては, Karoubi の [Kar] がある。Clay Mathematics Institute での講演録らしい。Algebraic \(K\)-theory と operator algebra の \(K\)-theory と topological \(K\)-theory の関係についての解説としては, Cortiñas の lecture notes [Cor11] がある。 様々な分野で \(K\)-theory がどのように使われているかについて, より詳しくは, “Handbook of \(K\)-theory” [FG05] を見るとよい。 ここで online 版が公開されている。章ごとにバラバラの PDF になっているが。

このように, \(K\)-theory があらゆるところに顔を出すのは, Grothendieck group が categorification の逆の操作, decategorification であることが一つの理由だろうか。

• Grothendieck group と \(K\)理論の基本
• 位相空間の\(K\)理論
• \(C^*\)環を始めとした作用素環の\(K\)理論
• 代数的\(K\)理論
• Atiyah-Singer の指数定理
• Baum-Connes 予想
• Twisted \(K\)-theory と関連した話題
• その他の幾何学的対象に対する \(K\)理論

重要な性質として周期性を持つことがあるが, その性質に着目し, 次の周期性を考えることが stable homotopy theory で行なわれている。

• Morava \(K\)-theory をはじめとした周期的な (コ) ホモロジー論

References

[Ati01]

Michael Atiyah. “\(K\)-theory past and present”. In: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Berlin: Berliner Math. Gesellschaft, 2001, pp. 411–417. arXiv: math/0012213.

[Cor11]

Guillermo Cortiñas. “Algebraic v. topological \(K\)-theory: a friendly match”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2011, pp. 103–165. arXiv: 0903.3983. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_3.

[FG05]

Eric M. Friedlander and Daniel R. Grayson, eds. Handbook of \(K\)-theory. Vol. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag, 2005, Vol. 1: xiv+535 pp., Vol. 2: pp. i–x and 537–1163. isbn: 978-3-540-23019-9; 3-540-23019-X. url: http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/.

[Kar]

Max Karoubi. \(K\)-theory. An elementary introduction. arXiv: math/ 0602082.