安定ホモトピー論における chromatic 現象

安定ホモトピー論においても, 中心となる研究対象は 球面のホモトピー群である。 非安定ホモトピー群よりは扱い易いが, それでも難しい対象であることに違いはない。

Quillen の仕事 [Qui69] により, 安定ホモトピー群の研究では 複素コボルディズム \(\mathrm {MU}\), そしてその \(p\)-local な summand である \(\mathrm {BP}\) が有効であることが分ったが, より具体的には, \(\mathrm {BP}\) の係数環 \[ \pi _*(\mathrm {BP}) \cong \Z _{(p)}[v_1,v_2,\ldots ] \] の生成元 \(v_n\) に関する周期性が鍵を握っている。

このことを明文化したのが Ravenel であり, その Ravenel の予想 [Rav84] は, telescope予想を除いて Hopkins とその共同研究者により証明された。 それにより1990年代以降の安定ホモトピー論は大きく発展したのである。

この周辺のことを学ぶときに読むとよい文献として, Ravenel の本 [Rav03] と [Rav92], Hopkins の講義のノート, Lurie の講義ノート, などがある。

もちろん Ravenel が一連の予想としてまとめる以前も, 周期性や nilpotency は安定ホモトピー論で重要な役割を果していた。\(v_0\)周期性, つまり rational stable homotopy theory は非常に単純である。次は \(v_1\) 周期性であるが, \(K\)理論や \(\Ima J\) による 球面のホモトピー群の研究は 60年代から 70年代にかけて盛んに行われた。そして, その延長として Larry Smith [Smi70; Smi71; Smi72] と戸田 [Tod71b; Tod71a] の研究がある。もちろん西田の nilpotency 定理 [Nis73] も忘れてはいけない。 数論や 代数幾何の言葉を用いた現代的な視点は, Morava [Mor79; Mor85] に依るところが大きい。

• Adams予想 と\(\Ima J\) そして\(K\)理論に関する局所化
• chromatic 現象を調べるための基本的な概念と道具
• nilpotence 定理とその周辺
• elliptic (co)homology で検出できる現象

\(K\)-theory と elliptic cohomology の次, \(v_3\) 以上に関して periodic な部分を調べるためのコホモロジーが何かというのも, もちろん非常に興味深い問題である。逆に Morava \(K\)-theory \(K(n)\) に関する球面の localization が何になるかという問題もある。 一つの試みとしては Behrens と T. Lawson の [BL10] がある。 Lawson による解説 [Law09] もある。

Stable rational homotopy theory はほとんど \(\Q \) 上の線形代数であるが, Greenlees が [Gre08] で述べているように, 群の作用を考えると結構面白いことがあるようである。

• equivariant stable homotopy theory

Equivariant stable homotopy category での chromatic 現象については, Behrens と Carlisle の [BC] の Introduction が, よくまとまっている。

• equivariant chromatic stable homotopy theory

Motivic homotopy theory での periodicity についても考えられている。 Andrews の preprint や Gheorghe の [Ghe] を見るとよい。

References

[BC]

Mark Behrens and Jack Carlisle. Periodic phenomena in equivariant stable homotopy theory. arXiv: 2406.19352.

[BL10]

Mark Behrens and Tyler Lawson. “Topological automorphic forms”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 204.958 (2010), pp. xxiv+141. arXiv: math/0702719. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-09-00573-0.

[Ghe]

Bogdan Gheorghe. Exotic Motivic Periodicities. arXiv: 1709.00915.

[Gre08]

J. P. C. Greenlees. “Rational torus-equivariant stable homotopy. I. Calculating groups of stable maps”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 72–98. arXiv: 0705.2686. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.010.

[Law09]

Tyler Lawson. “An overview of abelian varieties in homotopy theory”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 179–214. arXiv: 0810.0507. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.179.

[Mor79]

Jack Morava. “The Weil group as automorphisms of the Lubin-Tate group”. In: Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I. Vol. 63. Astérisque. Paris: Soc. Math. France, 1979, pp. 169–177.

[Mor85]

Jack Morava. “Noetherian localisations of categories of cobordism comodules”. In: Ann. of Math. (2) 121.1 (1985), pp. 1–39. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971192.

[Nis73]

Goro Nishida. “The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres”. In: J. Math. Soc. Japan 25 (1973), pp. 707–732.

[Qui69]

Daniel Quillen. “On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 1293–1298. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12401-8.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Rav92]

Douglas C. Ravenel. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory. Vol. 128. Annals of Mathematics Studies. Appendix C by Jeff Smith. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992, pp. xiv+209. isbn: 0-691-02572-X.

[Smi70]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. Applications to the stable homotopy of spheres”. In: Amer. J. Math. 92 (1970), pp. 793–856. url: https://doi.org/10.2307/2373397.

[Smi71]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. II. Applications to the stable homotopy of spheres”. In: Amer. J. Math. 93 (1971), pp. 226–263. url: https://doi.org/10.2307/2373459.

[Smi72]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. III”. In: Amer. J. Math. 94 (1972), pp. 875–890. url: https://doi.org/10.2307/2373763.

[Tod71a]

Hirosi Toda. “On spectra \(V(n)\)”. In: Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1971, pp. 273–278.

[Tod71b]

Hirosi Toda. “On spectra realizing exterior parts of the Steenrod algebra”. In: Topology 10 (1971), pp. 53–65.