Homotopy Theory of Orbifolds and Orbispaces

Orbifold の ホモトピー群の定義としては, groupoid の視点からは, その 分類空間のホモトピー群と定義するのが良さそうに思える。

• topological groupoid のホモトピー論

しかしながら, その定義に疑問を投げかけているのが, Leida の [Lei] である。 Equivariant homotopy theory の視点から, stable orbifold homotopy group, そして extended unstable orbifold homotopy group を定義している。

• stable orbifold homotopy group
• extended unstable orbifold homotopy group

不変量としては, Lusternik-Schnirelmann category の一般化 [Col10] も考えられている。

多様体の category がホモトピー論的視点からは扱いづらいように orbifold の category でホモトピー論を行なうことには限界がある。 少なくとも limit や colimit で閉じた category に拡張したい。 そのような目的で orbispace という概念を様々な人が定義している。 Henriques [Hen] によると, 言葉としては, Haefliger [Hae84; Hae91] により導入されたものらしいが, 人によってその定義は様々なので気をつける必要がある。

W. Chen は, [Che] で定義を与え, その基本的なホモトピー論的性質を調べている。その改良版が, [Che06] らしい。Kontsevich の[Kon95] や Mondello の [Mon08] にも別の定義で簡潔にまとめられたものがある。Chen の [Che06] は, 局所座標を用いたもので, 非常に煩雑である。しかしながら, 二つの orbispace の間の morphims の集合に orbispace の構造が入るという点で, 魅力的である。 Kontsevich や Mondello のものは簡潔ではあるが, この Chen の orbispace の持つ性質を持つのだろうか。よく分からない。この辺のことは, ちゃんと整理する必要があると思う。

Henrques と Gepner による別の定義 [GH] もある。 より新しいのは, Coufal, Pronk, Rovi, Scull, Thatcher による [Cou+15] であり, “accessible introduction to the theory of orbispaces via groupoids” を目指しているようなので, まずはこれを読んでみるとよいかもしれない。 Gepner と Meier は [GM23] で orbispace の \((\infty ,1)\)-category を topological stack の成す \((\infty ,1)\)-category の full subcategory として定義している。

• Gepner-Henriques orbispace

Gepner と Henriques の意味の orbispace は, Clough らの [CCL] では global space と呼ばれている。様々な群の作用を持つ空間をまとめて扱う, という意味だと思うが, この意味の global equivariant homotopy theory は, Schwede により構築されている。 また, Schwede 自身 [Sch20; Sch19] で, 彼の枠組みを用いて orbispace を扱うことを提案している。

• Schwede orbispace

当然この2つの現代的なアプローチの関係が気になるところであるが, Körschgen [Kör18] が Gepner-Henriques のものと Schwede のものを比べ, 本質的には同値であることを示している。

Chen は, [Che] では、 orbispace からその “loop space” を作り, その “loop space” の 通常のホモトピー群を用いて, ホモトピー群を定義している。 より orbispace 的な定義もあるはずである。より現代的には, orbispace の モデル圏や \((\infty ,1)\)-category を定義し, その構造を調べるべきだろう。 Orbifold cohomology などは, その上の representable functor として定義できないだろうか。 Colman の \(1\)-homotopy type [Col11] がヒントになるかもしれない。

• orbispace のホモトピー群
• orbispace の fibration とホモトピー群の完全列
• orbispace の mapping space ([Che06])
• Lupercio と Uribe の loop groupoid ([LU02])
• Colman の Lie groupoid の\(1\)-homotopy type

Orbifold が groupoid の言葉で表わせるように, orbispace は, topological stack の概念を用いて表わすのがよいのだろうか。それを用いて, orbispace の \(T\)-duality について調べたのは, Bunke と Schick [BS06] である。この論文には orbispace や topological stack の説明もある。また orbispace の twisted cohomology の公理も書いてある。彼らは Spitzweck と共に, [BSS08] で, orbifold cohomology の定義に用いる inertia stack などは, topological stack で考えるべき構成だと言っている。例えば, topological stack の inertia stack は topological stack になることを示している。

Lupercio と Uribe の loop groupoid の一般化としては, Noohi [Noo10] の topological stack の mapping stack がある。 Roberts と Vozzo [RV18] は differentiable stack 上の smooth loop stack について調べている。

Stack は bicategory を成すことから, 単純に model category を構成しようと考えるのではなく, bicategory 上の model structure のようなものを定義しようと考える方が有望かもしれない。 その方向では, Pronk と Warren の [PW14] や Tommasini の [Tom16] がある。

References

[BS06]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “\(T\)-duality for non-free circle actions”. In: Analysis, geometry and topology of elliptic operators. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 429–466. arXiv: math/0508550.

[BSS08]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, and Markus Spitzweck. “Inertia and delocalized twisted cohomology”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 129–180. arXiv: math/0609576.

[CCL]

Adrian Clough, Bastiaan Cnossen, and Sil Linskens. Global spaces and the homotopy theory of stacks. arXiv: 2407.06877.

[Che]

Weimin Chen. A Homotopy Theory of Orbispaces. arXiv: math/0102020.

[Che06]

Weimin Chen. “On a notion of maps between orbifolds. I. Function spaces”. In: Commun. Contemp. Math. 8.5 (2006), pp. 569–620. arXiv: math/0603671. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199706002246.

[Col10]

Hellen Colman. “The Lusternik-Schnirelmann category of a Lie groupoid”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.10 (2010), pp. 5529–5567. arXiv: 0908.3325. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2010-05168-2.

[Col11]

Hellen Colman. “On the 1-homotopy type of Lie groupoids”. In: Appl. Categ. Structures 19.1 (2011), pp. 393–423. arXiv: math/0612257. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-010-9227-y.

[Cou+15]

Vesta Coufal, Dorette Pronk, Carmen Rovi, Laura Scull, and Courtney Thatcher. “Orbispaces and their mapping spaces via groupoids: a categorical approach”. In: Women in topology: collaborations in homotopy theory. Vol. 641. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 135–166. arXiv: 1401.4772. url: https://doi.org/10.1090/conm/641/12857.

[GH]

David Gepner and André Henriques. Homotopy Theory of Orbispaces. arXiv: math/0701916.

[GM23]

David Gepner and Lennart Meier. “On equivariant topological modular forms”. In: Compos. Math. 159.12 (2023), pp. 2638–2693. arXiv: 2004.10254. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x23007509.

[Hae84]

André Haefliger. “Groupoı̈des d’holonomie et classifiants”. In: Astérisque 116 (1984). Transversal structure of foliations (Toulouse, 1982), pp. 70–97.

[Hae91]

André Haefliger. “Complexes of groups and orbihedra”. In: Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990). World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1991, pp. 504–540.

[Hen]

André Henriques. Orbispaces and Orbifolds from the Point of View of the Borel Construction, a new Definition. arXiv: math/0112006.

[Kon95]

Maxim Kontsevich. “Enumeration of rational curves via torus actions”. In: The moduli space of curves (Texel Island, 1994). Vol. 129. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1995, pp. 335–368. arXiv: hep-th/9405035.

[Kör18]

Alexander Körschgen. “A comparison of two models of orbispaces”. In: Homology Homotopy Appl. 20.1 (2018), pp. 329–358. arXiv: 1612.04267. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2018.v20.n1.a19.

[Lei]

Johann K. Leida. Orbifolds and stable homotopy groups. arXiv: math/0505431.

[LU02]

Ernesto Lupercio and Bernardo Uribe. “Loop groupoids, gerbes, and twisted sectors on orbifolds”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 163–184. arXiv: math/0110207. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/310/05403.

[Mon08]

Gabriele Mondello. “A remark on the homotopical dimension of some moduli spaces of stable Riemann surfaces”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10.1 (2008), pp. 231–241. arXiv: math/0602111. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/109.

[Noo10]

Behrang Noohi. “Mapping stacks of topological stacks”. In: J. Reine Angew. Math. 646 (2010), pp. 117–133. arXiv: 0809.2373. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2010.067.

[PW14]

Dorette A. Pronk and Michael A. Warren. “Bicategorical fibration structures and stacks”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), pp. 836–873. arXiv: 1303.0340.

[RV18]

David Michael Roberts and Raymond F. Vozzo. “Smooth loop stacks of differentiable stacks and gerbes”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 59.2 (2018), pp. 95–141. arXiv: 1602.07973.

[Sch19]

Stefan Schwede. “Categories and orbispaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.6 (2019), pp. 3171–3215. arXiv: 1810.06632. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.3171.

[Sch20]

Stefan Schwede. “Orbispaces, orthogonal spaces, and the universal compact Lie group”. In: Math. Z. 294.1-2 (2020), pp. 71–107. arXiv: 1711.06019. url: https://doi.org/10.1007/s00209-019-02265-1.

[Tom16]

Matteo Tommasini. “A bicategory of reduced orbifolds from the point of view of differential geometry”. In: J. Geom. Phys. 108 (2016), pp. 117–137. arXiv: 1304.6959. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.03.025.