ループ空間のモデル

写像空間の中でも, 特にループ空間は様々なモデル (近似) が構成されている。

最初に combinatorial な構成でループ空間の近似を与えたのは I. James [Jam55] である。Milnor による simplicial group としての構成もある。 Milnor の構成は未出版であるが, Adams の Student’s Guide [Ada72] に収録されている。

• reduced product あるいは James construction
• Milnor の \(F(K)\)

その後, Milgram [Mil66], Boardman と Vogt [BV73], May [May72], Segal [Seg73] などにより, 多重ループ空間の近似が考えられた。 ずっと新しいものとしては, Jeff Smith によるものもある。 これらは皆重要な構成である。

• \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の Milgram の model
• \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の Boardman-Vogt と May の little cube model
• \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の Segal の configuration space model
• Jeff Smith [Smi89] による \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の simplicial group model

また Dold とThom [DT58] による無限対称積 や Segal の \(K\)-homology [Seg77] もこの系統と言えなくもない。

• Dold-Thom の無限対称積 \(\mathrm {SP}^{\infty }(X)\)
• Segal の \(F(X)\)

Bahri と Cohen による多様体上のループ空間のモデル [BC] も興味深い。測地線で結べる点列の成す空間から構成されているので, ある種の configuration space model と言える。 Free loop space などの関連した写像空間のモデルも構成されている。

• Bahri と Cohen の多様体上のループ空間のモデル
• Rivera と Saneblidze [RS] による necklical set を用 いた path-loop fibration のモデル

これら全てのモデルはある種の configuration の空間を用いて構成されている。

• \(j\) 個の little \(n\)-cube の成す空間 \(\mathcal {C}_n(j)\)
• 位相空間 \(M\) の中の \(j\) 個の互いに異なる点の成す configuration space \(\mathrm {Conf}_{j}(M)\)
• permutohedron

このような写像空間の combinatorial な model があると, splitting が証明できることが多い。

• 非退化な基点を持つ空間の James construction は1回 suspension すると iterated smash product の wedge に分解する [Jam55]: \[ \Sigma J(X) \relation {\simeq }{w} \Sigma \bigvee _{j} X^{\wedge j} \]
• Snaith splitting [Sna74] \[ \Sigma ^{\infty } C_n(X) \relation {\simeq }{w} \Sigma ^{\infty } \bigvee _{j}\mathcal {C}_n(j)_{ }\wedge _{\Sigma _j} X^{\wedge j} \]

弧状連結でない場合には, 奥山のモデル [Oku05] がある。

無限対称積の equivariant version とも言うべき構成が Nie の [Nie] で与えられている。

Euclid空間以外の空間 \(Y\) の configuration space を用いても, 同様に空間 \(C(Y,X)\) が構成できる。\(C(Y\times \R ^n,X)\) と \(\Omega ^n C(Y,\Sigma ^n X)\) の関係を調べているのが, Caruso の [Car] である。

多重ループ空間については, 全く異なる monoidal category を用いた構成がある。 これも古くから May らにより考えられてきた。

• monoidal categoryの分類空間 (の group completion) は loop space
• symmetric monoidal category の分類空間 (の group completion) は 無限ループ空間 ([May74])
• braided monoidal category の分類空間 (のgroup completion) は double loop space
• \(n\)-fold monoidal categoryの分類空間は \(n\)-fold loop space ([Bal+03])

無限ループ空間の場合は Thomason [Tho95] により, 全ての無限ループ空間が symmetric monoidal category から作られることが示されている。 同様のことを \(n\)-fold loop space で考えたのが, Fiedoriwicz と Vogt の [FV03], そして Fiedorowicz と Stelzer と Vogt の [FSV13] である。

References

[Ada72]

John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 4. Cambridge University Press, London-New York, 1972, pp. vi+300.

[Bal+03]

C. Balteanu, Z. Fiedorowicz, R. Schwänzl, and R. Vogt. “Iterated monoidal categories”. In: Adv. Math. 176.2 (2003), pp. 277–349. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00065-3.

[BC]

A. Bahri and F. R. Cohen. On "small geodesics" and free loop spaces. arXiv: 0806.0637.

[BV73]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. x+257.

[Car]

Jeffrey L. Caruso. Configuration spaces and \(\R ^n\). arXiv: math/0605287.

[DT58]

Albrecht Dold and René Thom. “Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte”. In: Ann. of Math. (2) 67 (1958), pp. 239–281.

[FSV13]

Z. Fiedorowicz, M. Stelzer, and R. M. Vogt. “Homotopy colimits of algebras over \({\cC }at\)-operads and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 248 (2013), pp. 1089–1155. arXiv: 1109 . 0265. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.07.016.

[FV03]

Z. Fiedorowicz and R. Vogt. “Simplicial \(n\)-fold monoidal categories model all loop spaces”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 44.2 (2003), pp. 105–148.

[Jam55]

I. M. James. “Reduced product spaces”. In: Ann. of Math. (2) 62 (1955), pp. 170–197. url: https://doi.org/10.2307/2007107.

[May72]

J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. viii+175.

[May74]

J. P. May. “\(E_{\infty }\) spaces, group completions, and permutative categories”. In: New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972). London: Cambridge Univ. Press, 1974, 61–93. London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 11.

[Mil66]

R. James Milgram. “Iterated loop spaces”. In: Ann. of Math. (2) 84 (1966), pp. 386–403. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970453.

[Nie]

Zhaohu Nie. A Functor Converting Equivariant Homology to Homotopy. arXiv: math/0603455.

[Oku05]

Shingo Okuyama. “The space of intervals in a Euclidean space”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), pp. 1555–1572. arXiv: math/ 0511645. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.1555.

[RS]

Manuel Rivera and Samson Saneblidze. A combinatorial model for the path fibration. arXiv: 1706.00983.

[Seg73]

Graeme Segal. “Configuration-spaces and iterated loop-spaces”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 213–221. url: https://doi.org/10.1007/BF01390197.

[Seg77]

Graeme Segal. “\(K\)-homology theory and algebraic \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory and operator algebras (Proc. Conf., Univ. Georgia, Athens, Ga., 1975). Berlin: Springer, 1977, 113–127. Lecture Notes in Math., Vol. 575.

[Smi89]

Jeffrey Henderson Smith. “Simplicial group models for \(\Omega ^{n}S^{n}X\)”. In: Israel J. Math. 66.1-3 (1989), pp. 330–350. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02765902.

[Sna74]

V. P. Snaith. “A stable decomposition of \(\Omega ^{n}S^{n}X\)”. In: J. London Math. Soc. (2) 7 (1974), pp. 577–583.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).