Permutative Categories

Permutative category は, 70年代の Peter May による無限ループ空間に関する仕事の中でよく使われた構造である。 Symmetric monoidal category の結合性や unit に関する条件を, 全て strict にしたものである。正確な定義は, Elmendorf と Mandell の [EM06] を見るのがよいだろう。 任意の monoidal category が strict なものに置き換えられるように, 任意の symmetric monoidal category は permutative category に置き換えることができる。 Elmendorf と Mandell によると, これは Isbell の結果 [Isb69] らしい。

• 任意の symmetric monoidal category は, permutative category と同値

無限ループ空間との関連は, 分類空間を取ることにより得られる。分類空間が「可換な積」を持つため, 分類空間を取る操作が無限に行なえるのである。

無限ループ空間は connective spectrum と同等な概念であるが, 幾何学的に意味のある spectrum は積を持つことが多い。 その spectrum が permutative category からできているときには, permutative category のレベルで“積”を持ってくれることを期待したい。 ベクトル空間の圏の直和による monoidal structure に対して \(\otimes \) に対応するものである。その観点から May が定義したのが, bipermutative category である。Elmendorf と Mandell は, 結合的な \(\otimes \) を持つ permutative category として associative category という概念を定義している。

• bipermutative category
• associative category

Elmendorf と Mandell の [EM06] では, permutative category から作られる multicategory が使われている。 各種代数的構造が operad で記述できるように, permutative category の構造が multicategory で記述できることは面白い。

• pemutative category から作られる multicategory

代数的トポロジーの視点からは, もちろん permutative category からどのように connective spectrum が作られるかを知っている必要がある。これも Elmendorf と Mandell の論文を読むのがよいと思う。

Elmendorf と Mandell の目的は, permutative category の algebraic \(K\)-theory を定義することであるが, これは Quillen が symmetric monoidal category に対して定義した algebraic \(K\)-theory の別構成となっているものである。

• algebraic \(K\)-theory of permutative category

Permutative category の成す monoidal model category については, Sharma の [Sha20] などがある。

群 \(G\) の作用を考えるときには, \(G\)-spectrum や \(G\)-infinite loop space の元になっている \(G\)-permutative category を考える必要があるが, これについては, Guillou と May の [GM17] がある。 Bangs ら [Ban+21] は, biased permutative \(G\)-equivariant category という変種を定義している。

• \(G\)-permutative category
• biased permutative \(G\)-equivariant category

References

[Ban+21]

Kayleigh Bangs et al. “Biased permutative equivariant categories”. In: Homology Homotopy Appl. 23.1 (2021), pp. 77–100. arXiv: 1907.00933. url: https://doi.org/10.4310/hha.2021.v23.n1.a6.

[EM06]

A. D. Elmendorf and M. A. Mandell. “Rings, modules, and algebras in infinite loop space theory”. In: Adv. Math. 205.1 (2006), pp. 163–228. arXiv: math/0403403. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.07.007.

[GM17]

Bertrand J. Guillou and J. Peter May. “Equivariant iterated loop space theory and permutative \(G\)-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.6 (2017), pp. 3259–3339. arXiv: 1207 . 3459. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3259.

[Isb69]

John R. Isbell. “On coherent algebras and strict algebras”. In: J. Algebra 13 (1969), pp. 299–307. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(69)90076-3.

[Sha20]

Amit Sharma. “Symmetric monoidal categories and \(\Gamma \)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020). [Paper number previously given as 13], Paper No. 14, 417–512. arXiv: 1811.11333.