Parametrized Spectra

かつて, 固定した空間 \(B\) 上の空間の圏, つまり comma category \(\category {Top}\downarrow B\) でのホモトピー論は, fiberwise homotopy theory と呼ばれていたが, May と Sigurdsson の本 [MS06] の登場以来, parametrized homotopy theory の方が一般的になった, ような気がする。そもそも fiberwise homotopy theory 自体, あまり一般的な分野ではなかったが。

May と Sigurdsson の本では, その 安定ホモトピー版のために, spectrum の parametrized 版も導入されている。

• parametrized spectrum

Ando と Blumberg と Gepner は, [ABG18] で, \((\infty ,1)\)-category の枠組みでの parametrized space と parametrized spectrum を考えている。 その元になっているのは, Ando と Blumberg と Gepner と Hopkins と Rezk の [And+] である。

Parametrized spectrum を用いて, 位相空間上の spectrum を fiber とする bundle も定義できる。Lind の [Lin16] や Ando らの [And+], そして Cohen と Jones の [CJ17] など。

Ando らの仕事は, twisted cohomology と Thom spectrum の, 共通の枠組みとして parametrized spectrum が使えることを示している点で, 重要である。

• twisted cohomology
• Thom spectrum

\(BG\) 上の parametrized spectrum は twisted cohomology などに使われるが, この場合, 別のアプローチとして, 位相群 \(G\) に対し \(\Sigma ^{\infty }(G_{+})\) を ring spectrum と 考え, その上の module spectrum の category を考える, というアイデアもある。それが, May-Siguardsson の \(BG\) 上の parametrized spectrum の model category と Quillen equivalent であること は, Lind と Malkiewich [LM18] が示している。

Twisted \(K\)-theory が 物理で使われていることから, より一般の parametrized spectrum を使い, より深い物理の結果を得ようというのは自然なアイデアである。実際, Schreiber らの [BSS19] はそのような試みである。

モデル圏ではなく \((\infty ,1)\)-category を 用いたものとしては, Ando, Blumberg, Gepner の [ABG18] がある。 Base space として Kan complex \(S\) を用いたものであるが。

Braunack-Mayer [Bra21] は, May-Sigurdsson と And-Blumberg-Gepner のアプローチを比較し, 新しい parametrized spectrum の combinatorial model category を構成している。

References

[ABG18]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, and David Gepner. “Parametrized spectra, multiplicative Thom spectra and the twisted Umkehr map”. In: Geom. Topol. 22.7 (2018), pp. 3761–3825. arXiv: 1112.2203. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.3761.

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[Bra21]

Vincent Braunack-Mayer. “Combinatorial parametrised spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.2 (2021), pp. 801–891. arXiv: 1907.08496. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.801.

[BSS19]

Vincent Braunack-Mayer, Hisham Sati, and Urs Schreiber. “Gauge enhancement of super M-branes via parametrized stable homotopy theory”. In: Comm. Math. Phys. 371.1 (2019), pp. 197–265. arXiv: 1806.01115. url: https://doi.org/10.1007/s00220-019-03441-4.

[CJ17]

Ralph L. Cohen and John D. S. Jones. “Homotopy automorphisms of \(R\)-module bundles, and the \(K\)-theory of string topology”. In: Bol. Soc. Mat. Mex. (3) 23.1 (2017), pp. 163–172. arXiv: 1310.4797. url: https://doi.org/10.1007/s40590-016-0136-4.

[Lin16]

John A. Lind. “Bundles of spectra and algebraic \(K\)-theory”. In: Pacific J. Math. 285.2 (2016), pp. 427–452. arXiv: 1304.5676. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2016.285.427.

[LM18]

John A. Lind and Cary Malkiewich. “The Morita equivalence between parametrized spectra and module spectra”. In: New directions in homotopy theory. Vol. 707. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2018] ©2018, pp. 45–66. arXiv: 1702.07794. url: https://doi.org/10.1090/conm/707/14253.

[MS06]

J. P. May and J. Sigurdsson. Parametrized homotopy theory. Vol. 132. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. x+441. isbn: 978-0-8218-3922-5; 0-8218-3922-5. url: https://doi.org/10.1090/surv/132.