1重ループ空間のホモロジー

\(1\)重ループ空間といったときに, 基点を決めたループ空間 \(\Omega X\) と 基点自由なループ空間 \(LX=\mathrm {Map}(S^1,X)\) (free loop space) の2種類がある。

基点自由なループ空間のホモロジーについては, ここにまとめたので, ここでは \(\Omega X\) のホモロジーについて書くことにする。

\(\Omega X\) のような無限次元の空間のホモロジーを調べるためには, それを近似するモデルが欲しい。 \(\Omega X\) の幾何学的モデルとしては, geometric cobar construction がある。それを chain complex で考えたのが, Adams である。 [Ada56] では一般的な cobar construction について, そして [AH56] では loop 空間の chain complex について研究している。

• Adams の cobar construction

Adams は, 単連結という仮定をしたが, Rivera と Zeinalian [RZ18] が, その仮定を外せることを示している。 その証明を単純化したものを Rivera が [Riv22] として書いている。

\(X\) が suspension になっているとき, つまり \(\Omega \Sigma X\) という形の空間については, James の reduced product \(J(X)\) が最も有効な幾何学的モデルである。 それを用いると Bott-Samelson の定理 [BS53] が簡単に証明できる。

• Bott-Samelson の定理。つまり \(k\) を体とするとき \(k\) 上の algebra としての同型 \[ H_*(\Omega \Sigma X; k) \cong T(\widetilde {H}_*(X;k)) \] がある。ただし \(T\) は tensor algebra である。

\(1\)重ループ空間のホモロジーで面白いのは, Anick [Ani86], Avramov [Avr86], Felix-Halperin-Thomas [FHT04] などによる torsion の研究である。更に [Sco03] もある。

これらは, 有理ホモトピー論の視点からの研究である。 よってループ空間の (co)chain complex の代数的性質を調べることにより得られている。この視点をより発展させ, operad を用いた研究もある。Berger と Fresse の [BF04] や Chataur と Scott の [CS] などである。Hess, Parent, Scott, Tonks の [Hes+06] でも operad を用いて loop 空間の chain complex の model となるべき cobar construction に coproduct を定義している。

Hess は Levi との共著 [HL07] で, homotopy fiber のループ空間のモデルを考えている。そこには, ホモロジーの積と一致する積が定義される。

このようにループ空間のモデルを考える際には, より一般に fibration のモデルを考えた方が見通しが良くなることが多い。(Co)chain complex レベルでの fibration のモデルとしては, twisted tensor product [Bro59] が有名である。積構造を考える際には, Kadeishvili と Saneblidze [KS05] のように cubical chain complex ( cubical set) で考えた方が良いようである。更に, ループ空間 (path-loop fibration) を考える際には, permutohedron に基づいた permutohedral set を考えるよい [KS15] ようである。また彼らは Hirsch (co)algebra という概念を用いている。それについては, Saneblidze が [San16] で調 べている。

• Hirsch (co)algebra

具体的な計算に役立つ問題として, \(X\) に cell を張りつけて新しい空間 \(Y\) を作ったとき, \(\Omega Y\) のホモロジーと \(\Omega X\) のホモロジーの関係を調べる, という問題が考えられる。Bubenik が Ph.D. thesis [Bub] で考えている。

References

[Ada56]

J. F. Adams. “On the cobar construction”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 42 (1956), pp. 409–412. url: https://doi.org/10.1073/pnas.42.7.409.

[AH56]

J. F. Adams and P. J. Hilton. “On the chain algebra of a loop space”. In: Comment. Math. Helv. 30 (1956), pp. 305–330. url: https://doi.org/10.1007/BF02564350.

[Ani86]

David J. Anick. “A loop space whose homology has torsion of all orders”. In: Pacific J. Math. 123.2 (1986), pp. 257–262. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102701002.

[Avr86]

Luchezar L. Avramov. “Torsion in loop space homology”. In: Topology 25.2 (1986), pp. 155–157. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(86)90036-4.

[BF04]

Clemens Berger and Benoit Fresse. “Combinatorial operad actions on cochains”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 137.1 (2004), pp. 135–174. arXiv: math/0109158. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004103007138.

[Bro59]

Edgar H. Brown Jr. “Twisted tensor products. I”. In: Ann. of Math. (2) 69 (1959), pp. 223–246. url: https://doi.org/10.2307/1970101.

[BS53]

R. Bott and H. Samelson. “On the Pontryagin product in spaces of paths”. In: Comment. Math. Helv. 27 (1953), 320–337 (1954).

[Bub]

Peter Bubenik. Cell attachments and the homology of loop spaces and differential graded algebras. arXiv: math/0601421.

[CS]

David Chataur and Jonathan A. Scott. \(E_{\infty }\) Cell Models for Free and Based Loop Space Cohomology. arXiv: math/0306421.

[FHT04]

Y. Felix, S. Halperin, and J.-C. Thomas. “Torsion primes in loop space homology”. In: Topology 43.2 (2004), pp. 493–496. arXiv: math/0302139. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00048-X.

[Hes+06]

Kathryn Hess, Paul-Eugène Parent, Jonathan Scott, and Andrew Tonks. “A canonical enriched Adams-Hilton model for simplicial sets”. In: Adv. Math. 207.2 (2006), pp. 847–875. arXiv: math/0408216. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.01.013.

[HL07]

Kathryn Hess and Ran Levi. “An algebraic model for the loop space homology of a homotopy fiber”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1699–1765. arXiv: math/0410503. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1699.

[KS05]

Tornike Kadeishvili and Samson Saneblidze. “A cubical model for a fibration”. In: J. Pure Appl. Algebra 196.2-3 (2005), pp. 203–228. arXiv: math/0210006. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.08.017.

[KS15]

Tornike Kadeishvili and Samson Saneblidze. “The twisted Cartesian model for the double path fibration”. In: Georgian Math. J. 22.4 (2015), pp. 489–508. arXiv: math/0210224. url: https://doi.org/10.1515/gmj-2015-0040.

[Riv22]

Manuel Rivera. “Adams’ cobar construction revisited”. In: Doc. Math. 27 (2022), pp. 1213–1223. arXiv: 1910.08455. url: https://doi.org/10.4171/dm/895.

[RZ18]

Manuel Rivera and Mahmoud Zeinalian. “Cubical rigidification, the cobar construction and the based loop space”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.7 (2018), pp. 3789–3820. arXiv: 1612.04801. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.3789.

[San16]

Samson Saneblidze. “Filtered Hirsch algebras”. In: Trans. A. Razmadze Math. Inst. 170.1 (2016), pp. 114–136. arXiv: 0707.2165. url: https://doi.org/10.1016/j.trmi.2016.03.001.

[Sco03]

Jonathan A. Scott. “A torsion-free Milnor-Moore theorem”. In: J. London Math. Soc. (2) 67.3 (2003), pp. 805–816. url: http://dx.doi.org/10.1112/S002461070300423X.