Homology of Free Loop Spaces

基点自由なループ空間の具体的な (co)homology の計算としては, まず球面と射影空間の場合を知っておくべきだろう。

• 球面の free loop space の (co)homology
• 射影空間の free loop space の (co)homology

Ziller の [Zil77] に \(\Z \) 係数ホモロジーの表がある。 これが最初だろうか。その後, 様々な人によって, Chas-Sullivan の積など, より詳しい構造が調 べられている。例えば, [KY97; CJY04; BO05; Men09] など。

Free loop space の homology については, 80年代に Hochschild (co)homology などとの関連が発見された。これについては, まず Loday の解説 [Lod15] に目を通してみるのがよいかもしれない。

• \(C=S_*(\Omega _M X)\) とおく。ただし \(\Omega _M\) は Moore loop space である。このとき次の同型がある。 [BF86] \[ HH_*(C) \cong H_*(LX) \]
• \(LX\) の cosimplicial space model [Jon87; CJ02]
• 単連結な \(X\) に対しては, 次の同型がある。 \[ HH_*(S^*(X)) \cong H^*(LX) \]

最後の同型を誘導する cochain level の chain homotopy equivalence を, Ungheretti [Ung] が構成している。そのとき, singular cochain complex の積は strict に commutative ではないので, 工夫が必要であるが, 積の homotopy commutativity を表す \(E_{\infty }\)-opeard の作用を用いている。 その operad の作用については, McClure と Jeff Smith の [MS03] と Berger と Fresse の [BF04] が参照されている。

また topological Hochschild homology を用いて spectrum level に lift することも考えられている。Malkiewich の [Mal] によると, 最初に気が付いたのは Ralph Cohen らしい。その後 Kuhn [Kuh04] や Campbell [Cam] により, より精密化したものが証明されている。 更に factorization homology の視点からの一般化が Ayala と Francis [AF19] により得られている。

Hochschild complex については, little \(2\)-cubes operad \(\mathcal {C}_2\) の (singular chain complex) の作用 (Deligne 予想) がある。 このことから free loop space の singular chain complex に幾何学的に定義された自然な \(\mathcal {C}_2\)-action があることが予想される。実際, R. Cohen と J.D.S. Jones [CJ02] は, Thom complex レベルでの cacti operad (framed disk operad) の作用があることを示している。 Po Hu による Cohen と Jones の結果の高次元化 [Hu06], つまり \(\mathrm {Map}(S^k,M)\) に関する類似の結果もある。

Free loop space には自然に \(S^1\) が作用するが, その equivariant (co)homology は, cyclic homology と関係があることが知られている。上記の Hochschild (co)homology との関係の類似が成り立つ。

• free loop space の \(S^1\)-equivariant (co)homology と cyclic homology の間関係

最近では, Chas と Sullivan [CS] の定義した free loop space のホモロジーの積をきっかけとして研究が進んでいる。

• string topology

例えば以下のような結果がある。

• Félix, Thomas, Vigué-Poirrier [FTV] は \(H_*(\Omega M)\) への intersection morphism の kernel と image に関する研究
• Chataur による bordism による Chas-Sullivan の積の解釈 [Cha05]

Chataur の論文では, Jakob による homology の bordism による記述が用いられている。この Chataur の論文は free loop space についての解説としても簡潔に重要なことがまとめられていて, 一読に値する。

これらの結果を, 一般ホモロジーに一般化することも考えられている。 例えば, R. Cohen と Godin の [CG04] などである。

• \(h_*(-)\) が係数環が 次数付き体である multiplicative homology theory で, \(M\) が \(h_*\)-orientable な多様体のとき, \(h_*(LM)\) は counit を持たない Frobenius algebra の構造を持つ。

References

[AF19]

David Ayala and John Francis. “Poincaré/Koszul duality”. In: Comm. Math. Phys. 365.3 (2019), pp. 847–933. arXiv: 1409.2478. url: https://doi.org/10.1007/s00220-019-03311-z.

[BF04]

Clemens Berger and Benoit Fresse. “Combinatorial operad actions on cochains”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 137.1 (2004), pp. 135–174. arXiv: math/0109158. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004103007138.

[BF86]

D. Burghelea and Z. Fiedorowicz. “Cyclic homology and algebraic \(K\)-theory of spaces. II”. In: Topology 25.3 (1986), pp. 303–317. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(86)90046-7.

[BO05]

Marcel Bökstedt and Iver Ottosen. “A splitting result for the free loop space of spheres and projective spaces”. In: Q. J. Math. 56.4 (2005), pp. 443–472. arXiv: math / 0411594. url: http://dx.doi.org/10.1093/qmath/hah056.

[Cam]

Jonathan A. Campbell. Derived Koszul Duality and Topological Hochschild Homology. arXiv: 1401.5147.

[CG04]

Ralph L. Cohen and Véronique Godin. “A polarized view of string topology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 127–154. arXiv: math / 0303003. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.008.

[Cha05]

David Chataur. “A bordism approach to string topology”. In: Int. Math. Res. Not. 46 (2005), pp. 2829–2875. arXiv: math/0306080. url: http://dx.doi.org/10.1155/IMRN.2005.2829.

[CJ02]

Ralph L. Cohen and John D. S. Jones. “A homotopy theoretic realization of string topology”. In: Math. Ann. 324.4 (2002), pp. 773–798. arXiv: math/0107187. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-002-0362-0.

[CJY04]

Ralph L. Cohen, John D. S. Jones, and Jun Yan. “The loop homology algebra of spheres and projective spaces”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 77–92. arXiv: math/0210353.

[CS]

Moira Chas and Dennis Sullivan. String Topology. arXiv: math/ 9911159.

[FTV]

Yves Félix, Jean-Claude Thomas, and Micheline Vigué-Poirrier. Loop homology algebra of a closed manifold. arXiv: math/0203137.

[Hu06]

Po Hu. “Higher string topology on general spaces”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 93.2 (2006), pp. 515–544. arXiv: math/0401081. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611506015838.

[Jon87]

John D. S. Jones. “Cyclic homology and equivariant homology”. In: Invent. Math. 87.2 (1987), pp. 403–423. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389424.

[Kuh04]

Nicholas J. Kuhn. “The McCord model for the tensor product of a space and a commutative ring spectrum”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Birkhäuser, Basel, 2004, pp. 213–236. arXiv: math/0202042.

[KY97]

Katsuhiko Kuribayashi and Toshihiro Yamaguchi. “The cohomology algebra of certain free loop spaces”. In: Fund. Math. 154.1 (1997), pp. 57–73.

[Lod15]

Jean-Louis Loday. “Free loop space and homology”. In: Free loop spaces in geometry and topology. Vol. 24. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2015, pp. 137–156. arXiv: 1110.0405.

[Mal]

Cary Malkiewich. Cyclotomic structure in the topological Hochschild homology of \(DX\). arXiv: 1505.06778.

[Men09]

Luc Menichi. “String topology for spheres”. In: Comment. Math. Helv. 84.1 (2009). With an appendix by Gerald Gaudens and Menichi, pp. 135–157. arXiv: math/0609304. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/155.

[MS03]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “Multivariable cochain operations and little \(n\)-cubes”. In: J. Amer. Math. Soc. 16.3 (2003), 681–704 (electronic). arXiv: math/0106024. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00419-3.

[Ung]

Massimiliano Ungheretti. Free loop space and the cyclic bar construction. arXiv: 1602.09035.

[Zil77]

Wolfgang Ziller. “The free loop space of globally symmetric spaces”. In: Invent. Math. 41.1 (1977), pp. 1–22.