種数 (genus)

多様体の cobordsim 不変量として, genus と呼ばれるものがある。代数的トポロジーの観点からは, 向き付け可能な多様体の genus とは, oriented cobordism ring からの ring homomorphism \[ \mathrm {MSO}_* \longrightarrow R \] のことである。複素版 \[ \mathrm {MU}_* \longrightarrow R \] も重要である。

• Hirzebruch \(L\)-class \(\mathcal {L}(M)\)
• \(\hat {A}\)-genus
• signature (\(\mathrm {sign}(M) = \langle \mathcal {L}(M), [M]\rangle \))
• Todd genus
• elliptic genus
• Witten genus

McTangue [McT] によると, これらを適当な fiber bundle に関して multiplicative な genus の中で universal なものとして特徴付けたのは Totaro [Tot07] である。

安定ホモトピー論の視点からは, これらは, spectrum の間の morphism として実現されるべきだろう。そして, \(S\)-module や symmetric spectrum のような現代的な spectrum に基いた structured ring spectrum の間の「良いmorphism」 として実現できるともっと嬉しい。 そのような試みとして, Chadwick と Mandell の [CM15] がある。 ある条件の元で, \(E_2\)-ring spectrum の morphism として表している。

具体的な genus について勉強するには, まずは Hirzebruch の本 [Hir95] を読んでみるのがよいだろうか。 日本語訳もある。予備知識として以下のことが必要になる。

• cobordism
• 特性類

与えられた genus \(h\) を Lie群 \(G\) の作用を持つ多様体の equivariant cobordism 類に拡張できるが, 拡張しても変わらないとき rigidity を持つという。 これについては, 歴史的なことも含め Musin の [Mus] をみるとよい。

• genus の rigidity

References

[CM15]

Steven Greg Chadwick and Michael A. Mandell. “\(E_n\) genera”. In: Geom. Topol. 19.6 (2015), pp. 3193–3232. arXiv: 1310.3336. url: https://doi.org/10.2140/gt.2015.19.3193.

[Hir95]

Friedrich Hirzebruch. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translated from the German and Appendix One by R. L. E. Schwarzenberger, With a preface to the third English edition by the author and Schwarzenberger, Appendix Two by A. Borel, Reprint of the 1978 edition. Berlin: Springer-Verlag, 1995, pp. xii+234. isbn: 3-540-58663-6.

[McT]

Carl McTague. The Cayley Plane and the Witten Genus. arXiv: 1006. 0728.

[Mus]

Oleg R. Musin. On rigid Hirzebruch genera. arXiv: 0809.3063.

[Tot07]

Burt Totaro. “The elliptic genus of a singular variety”. In: Elliptic cohomology. Vol. 342. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007, pp. 360–364. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721489.019.