Enriched Monoidal Categories

Morrison, Penneys, Plavnik [MPP] によると symmetric monoidal closed category で enrich された monoidal category は, 1980年代から [Str83; Kel82; Str05; GP] で調べられている。

もちろん, この symmetric monoidal (closed) category という条件を弱めることは, 色んな人が考えている。まず symmetric monoidal を braided monoidal category に弱めることは, Morrison と Penneys [MP] が考えている。

• braided monoidal category で enrich された category

Braided monoidal category で enrich された fusion category は, Jones らの [Jon+] で調べられている。 それによると, Kong らの topological order の研究 [KZb; Che+; KZa] で使われているようである。

そのためもあって, Kong らは [Kon+] で braided monoidal category で enrich された monoidal category の一般論を展開している。 Kelly の本 [Kel82] のような古典的な扱いでは, base となる monoidal category が固定されているが, “change of base category” も含めた functor が考えられている。

References

[Che+]

Wei-Qiang Chen, Chao-Ming Jian, Liang Kong, Yi-Zhuang You, and Hao Zheng. A topological phase transition on the edge of the 2d \(\mathbb {Z}_2\) topological order. arXiv: 1903.12334.

[GP]

Richard Garner and John Power. An enriched view on the extended finitary monad–Lawvere theory correspondence. arXiv: 1707.08694.

[Jon+]

Corey Jones, Scott Morrison, David Penneys, and Julia Plavnik. Extension theory for braided-enriched fusion categories. arXiv: 1910. 03178.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[Kon+]

Liang Kong, Wei Yuan, Zhi-Hao Zhang, and Hao Zheng. Enriched monoidal categories I: centers. arXiv: 2104.03121.

[KZa]

Liang Kong and Hao Zheng. A mathematical theory of gapless edges of 2d topological orders. Part I. arXiv: 1905.04924.

[KZb]

Liang Kong and Hao Zheng. Gapless edges of 2d topological orders and enriched monoidal categories. arXiv: 1705.01087.

[MP]

Scott Morrison and David Penneys. Monoidal categories enriched in braided monoidal categories. arXiv: 1701.00567.

[MPP]

Scott Morrison, David Penneys, and Julia Plavnik. Completion for braided enriched monoidal categories. arXiv: 1809.09782.

[Str05]

Ross Street. “Enriched categories and cohomology”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 14 (2005). Reprinted from Quaestiones Math. 6 (1983), no. 1-3, 265–283 [MR0700252], with new commentary by the author, pp. 1–18.

[Str83]

Ross Street. “Absolute colimits in enriched categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 24.4 (1983), pp. 377–379.