Cluster algebra と関連した概念

Cluster algebra は, Fomin と Zelevinsky [FZ02; FZ03b; BFZ05; FZ07] により, 表現論に関連して導入された概念である。

活発に研究されていて, 解説も様々なものが出ている。Zelevinsky の AMS Noticesの “WHAT IS ...?” の記事 [Zel07], B. Kellerによる解説 [Kel11b; Kel11a; Kel12], Fomin の ICM 2010 の [Fom10], Lauren Williams の [Wil14] など。

また, Fomin, Williams, Zelevinsky が執筆中の本は, 少しづつ arXiv に登場している。 Chapter 1から3が [FWZc], Chapters 4 と 5 が [FWZd], Chapter 6 が [FWZa], そして Chapter 7 が [FWZb] として出ている。

Fomin は, Cluster Algebras Portal というサイトを運営している。

Caldero と Zelevinsky [CZ06] によると, cluster algebra は表現論だけでなく, 以下のことに応用されている:

• Teichmüller theory
• Poisson geometry
• discrete dynamical system
• tropical geometry
• 代数的組み合せ論

逆に, Teichmüller theory や曲面の triangulation, そして, hyperbolic geometry などの情報から, cluster algebra の構造を調べようという試みもある。Fomin と Shapiro と Dylan Thurston の [FST08] である。

Fock と Goncharov は, このような “geometric origin” を持つ cluster algebra に関連した概念として, [FG09] で cluster ensemble というものを導入した。

• cluster ensemble

Fomin と Zelevinsky [FZ03a] は, cluster complex と呼ばれる simplicial complex の族を導入している。

• cluster complex

Cluster category というものもある。Buan と Marsh と Reineke と Reiten と Todorov の [Bua+06] で導入された。Bounded derived category の quotient として得られ, triangulated category になる。

• cluster category

Cluster category からは, subcategory による quotient を取ることにより, Abelian category を作ることができるが, より一般に triangulated category からその quotient として Abelian category を作ることを考えているのは Koenig と Zhu の [KZ08] である。

Cluster algebra と cluster category の直截的な関係を調べたものとしては, Caldero と Keller の [CK08; CK06] などがある。 例えば, cluster algebra が cluster category の Hall algebra として実現できることを示している。

Cluster の一般化として \(m\in \N \) に対し, \(m\)-cluster というものも定義されている。\(m=1\) のときが Fomin-Zelevinsky の cluster である。

• \(m\)-cluster (Fomin-Reading [FR05])

それに対応する, \(m\)-cluster category を定義しようというのが, Hugh Thomas の [Tho07] である。

別の categorical approach として, Hernandez と Leclerc の [HL10] がある。Cluster algebra の monoidal categorification を定義している。Nakajima [Nak11] は, cluster category の方を additive categorification と呼んでいる。

• cluster algebra の monoidal categorification

Categorification ではないが, \(K\)-theory が cluster algebra になる \(C^{*}\)-algebra が Nikolaev [Nik16] により導入されている。

• cluster \(C^{*}\)-algebra

Glubokov と Nikolaev の [GN] では, Nikolaev の本 [Nik22] の Section 4.4 が参照されている。 この Glubokov と Nikolaev の論文では, Jones polynomial で生成された \(\Z [t^{\pm \frac {1}{2}}]\) の subalgebra が, cluster \(C^{*}\)-algebra の subalgebra の \(K\)-theory として実現できることが示されている。

このような cluster algebra と結び目の理論, より正確には knot (link) polynomial との関係は, 最初に Lee と Schifller の [LS19] により発見されたものなのだろうか。Lee と Schiffler は Jones polynomial との関係を得ている。 Nagai と Terashima [NT20] は Alexander polynomial が得られることを示している。HOMFLY polynomial については [Yac] がある。

References

[BFZ05]

Arkady Berenstein, Sergey Fomin, and Andrei Zelevinsky. “Cluster algebras. III. Upper bounds and double Bruhat cells”. In: Duke Math. J. 126.1 (2005), pp. 1–52. arXiv: math / 0305434. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12611-9.

[Bua+06]

Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten, and Gordana Todorov. “Tilting theory and cluster combinatorics”. In: Adv. Math. 204.2 (2006), pp. 572–618. arXiv: math/0402054. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.06.003.

[CK06]

Philippe Caldero and Bernhard Keller. “From triangulated categories to cluster algebras. II”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 39.6 (2006), pp. 983–1009. arXiv: math/0510251. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2006.09.003.

[CK08]

Philippe Caldero and Bernhard Keller. “From triangulated categories to cluster algebras”. In: Invent. Math. 172.1 (2008), pp. 169–211. arXiv: math/0506018. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0111-4.

[CZ06]

Philippe Caldero and Andrei Zelevinsky. “Laurent expansions in cluster algebras via quiver representations”. In: Mosc. Math. J. 6.3 (2006), pp. 411–429, 587. arXiv: math/0604054.

[FG09]

Vladimir V. Fock and Alexander B. Goncharov. “Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 42.6 (2009), pp. 865–930. arXiv: math/0311245. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_15.

[Fom10]

Sergey Fomin. “Total positivity and cluster algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2010, pp. 125–145. arXiv: 1005.1086.

[FR05]

Sergey Fomin and Nathan Reading. “Generalized cluster complexes and Coxeter combinatorics”. In: Int. Math. Res. Not. 44 (2005), pp. 2709–2757. arXiv: math/0505085. url: http://dx.doi.org/10.1155/IMRN.2005.2709.

[FST08]

Sergey Fomin, Michael Shapiro, and Dylan Thurston. “Cluster algebras and triangulated surfaces. I. Cluster complexes”. In: Acta Math. 201.1 (2008), pp. 83–146. arXiv: math / 0608367. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-008-0030-7.

[FWZa]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapter 6. arXiv: 2008.09189.

[FWZb]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapter 7. arXiv: 2106.02160.

[FWZc]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 1-3. arXiv: 1608.05735.

[FWZd]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 4-5. arXiv: 1707.07190.

[FZ02]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “Cluster algebras. I. Foundations”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.2 (2002), 497–529 (electronic). arXiv: math/0104151. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00385-X.

[FZ03a]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “\(Y\)-systems and generalized associahedra”. In: Ann. of Math. (2) 158.3 (2003), pp. 977–1018. arXiv: hep-th/0111053. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.977.

[FZ03b]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “Cluster algebras. II. Finite type classification”. In: Invent. Math. 154.1 (2003), pp. 63–121. arXiv: math/0208229. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0302-y.

[FZ07]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “Cluster algebras. IV. Coefficients”. In: Compos. Math. 143.1 (2007), pp. 112–164. arXiv: math/0602259. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X06002521.

[GN]

Andrey Glubokov and Igor Nikolaev. \(K\)-theory of Jones polynomials. arXiv: 2110.05640.

[HL10]

David Hernandez and Bernard Leclerc. “Cluster algebras and quantum affine algebras”. In: Duke Math. J. 154.2 (2010), pp. 265–341. arXiv: 0903.1452. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2010-040.

[Kel11a]

Bernhard Keller. “Algèbres amassées et applications (d’après Fomin-Zelevinsky, \(\ldots \))”. In: Astérisque 339 (2011). Séminaire Bourbaki. Vol. 2009/2010. Exposés 1012–1026, Exp. No. 1014, vii, 63–90. arXiv: 0911.2903.

[Kel11b]

Bernhard Keller. “Categorification of acyclic cluster algebras: an introduction”. In: Higher structures in geometry and physics. Vol. 287. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, New York, 2011, pp. 227–241. arXiv: 0801. 3103. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4735-3_11.

[Kel12]

Bernhard Keller. “Cluster algebras and derived categories”. In: Derived categories in algebraic geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2012, pp. 123–183. arXiv: 1202.4161.

[KZ08]

Steffen König and Bin Zhu. “From triangulated categories to abelian categories: cluster tilting in a general framework”. In: Math. Z. 258.1 (2008), pp. 143–160. arXiv: math/0605100. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-007-0165-9.

[LS19]

Kyungyong Lee and Ralf Schiffler. “Cluster algebras and Jones polynomials”. In: Selecta Math. (N.S.) 25.4 (2019), Paper No. 58, 41. arXiv: 1710.08063. url: https://doi.org/10.1007/s00029-019-0503-x.

[Nak11]

Hiraku Nakajima. “Quiver varieties and cluster algebras”. In: Kyoto J. Math. 51.1 (2011), pp. 71–126. arXiv: 0905.0002. url: http://dx.doi.org/10.1215/0023608X-2010-021.

[Nik16]

Igor V. Nikolaev. “On cluster \(C^*\)-algebras”. In: J. Funct. Spaces (2016), Art. ID 9639875, 8. arXiv: 1508 . 00591. url: https://doi.org/10.1155/2016/9639875.

[Nik22]

Igor V. Nikolaev. Noncommutative geometry—a functorial approach. Vol. 66. De Gruyter Studies in Mathematics. Second edition [of 3751373]. De Gruyter, Berlin, [2022] ©2022, pp. xix+378. isbn: 978-3-11-078860-0; 978-3-11-078870-9; 978-3-11-078881-5.

[NT20]

Wataru Nagai and Yuji Terashima. “Cluster variables, ancestral triangles and Alexander polynomials”. In: Adv. Math. 363 (2020), pp. 106965, 37. arXiv: 1812.02434. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106965.

[Tho07]

Hugh Thomas. “Defining an \(m\)-cluster category”. In: J. Algebra 318.1 (2007), pp. 37–46. arXiv: math/0607173. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.09.012.

[Wil14]

Lauren K. Williams. “Cluster algebras: an introduction”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 51.1 (2014), pp. 1–26. arXiv: 1212.6263. url: https://doi.org/10.1090/S0273-0979-2013-01417-4.

[Yac]

Matthew Yacavone. Cluster Algebras and the HOMFLY Polynomial. arXiv: 1910.10267.

[Zel07]

Andrei Zelevinsky. “What is \(\dots \) a cluster algebra?” In: Notices Amer. Math. Soc. 54.11 (2007), pp. 1494–1495.